IL y a sûrement + simple, mais voici comment j'aurai procédé
:


On peut calculer le coefficient directeur des vecteurs BH et EB.

pour BH :   a=(xH-xB)/(yH-yB)
                   a=(0+3)/(3-0)
                   a=3/3
                   a=1

pour EB:    a'=(xB-xE)/(yB-yE)
                  a'=(-3+9)/(0-6)
                  a'=6/-6
                  A'=-1

Un vecteur de coefficient directeur égal à 1 ou -1 forme un angle de
45° avec l'axe des abscisses.

Donc, l'angle HBO mesure 45°
Soit Q(-5,0) : EBQ mesure 45°

L'angle EBH est égal à 180*-(HBQ+EBQ) =180-(45+45) =180-90
                                                                
                              =90°
*: car Q, B et O sont alignés (car sur l'axe des abscisses)

Donc EBH est un angle droit, et le traingle EHB est rectangle en B.

Comme BH est l'hypothénuse du triangle rectangle iscocèle BOH,
d'apres pythagore, BH vaut BOXV(2)

V(2) veut dire racine carrée de 2 , car je ne sais pas comment l'écrire
sur le clavier.

Donc, BH=3V(2)

De même , EB=6V(2)

Et , avec pythagore, EH²=BH²+EB²
                                  EH²=(3V(2))² + (6V(2))²
                                  EH²=18+72
                                   EH=V(90) = 3V(10)

Un vecteur n'a pas de coefficient directeur !
On peut résoudre cet exercice uniquement avec des calculs de distance,
ou ce qui revient au même, des calculs de normes de vecteurs.
Pour la question 2, il suffit d'utiliser la réciproque du théorème
de Pythagore (puisque tu as les coordonnées de tous les points, tu
peux calculer les distances entre eux).
Pour la question 4, c'est immédiat quand tu sais que HE=HD, car H
est équidistant de E et D, et (BH) est perpendiculaire à (ED) (car
HBE est rectangle en B).
Enfin, (BH) perpendiculaire à (BD) ; or (BD) est parallèle à (AC) (car égalité
des vecteurs BD et AC). Donc (BH) est perpendiculaire à (AC). Comme
(AH) est perpendiculaire à (BC) (car le repère est orthonormal),
le point H est le point d'intersection de deux hauteurs du triangle
ABC. On peut en déduire que H est l'orthocentre de ce triangle.
Un peu d'orthographe pour Arnaud : hypoténuse (un seul h)!