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aidez moi svp sur les dérivations
bonjour, je coince sur un exercice de révision pour mon DS proche, pouvez vous m'aider à le comprendre svp jen 'arrive pas à le refaire
voici mon exercice :
Une boite a pour volume 4; sa base, carré de coté x, et sa hauteur h sont variables
1) a- démontrer que l'air composée des quatres faces latérales et du fond est donnée par la fonction A définie sur I = ] 0 ; + infinie [ par A(x) = (x) caré + (16/x)
b- monter que pour tout x apparteant ) I on a A' (x) = (( 2(x -2)) ( (x)caré +2x +4))/ ((x)caré)
2) étudier les variaions de la fonction A sur I,en déduire qu'il existe une valeur de x qui rend l'aire de la boite minimale, déterminer alors les dimensions x et h de la boite ainsi que son aire.
merci pour votre aide bonne fin de week end
buwy
Bonjour,
1) On a V=x2*h=4 =>h=4/x2
a/ A(x)=x2+4*(x*h)=x2+4*x*4/x2
Soit A(x)=x2+16/x
b/ A'(x)=2x-16/x2=2*(x3-8)/x2
Soit x3-8=(x-2)(ax2+bx+c)
Développons la seconde expression
x3-8=ax3-2ax2+bx2+cx-2bx-2c
sit x3-8=ax3+(b-2a)x2+(c-2b)x-2c
On en déduit que puisque cette éqauation est vraie pour tout x que :
1=a , 0=b-2a, 0=c-2b, -8=-2c
càd a=1 , b=2 , c=4
doù x3-8=(x-2)(x2+2x+4)
Soit A'(x)=2*(x-2)*(x2+2x+4)/x2
2) Il faut étudier le signe de chaque polynôme de A'(x) pour connaitre son signe
x2 toujours positif (x
0)
(x-2) négatif si x<2 et positif si x>2
Etudions le signe du dernier polynôme (x2+2x+4)
=22-4*1*4=4-16=-12.
Donc ce polynôme est toujours du signe du coefficient du monôme x2, soit 1 , donc toujours postif.
En conclusion :
A'(x)<0 si x<2 et x0
A'(x)>0 si x>2
Donc A est décroissante de 0 à 2 et croissante de 2 à +
Lorsque x=2 , A'(2)=0 , et comme A'(x) change de signe , cela signifie que x=2 est un extremum local de A(x), en l'occurence un minimum.
Sauf erreur
A toi de vérifier et finir
Bon courage
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