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Aire d'un parallélogramme avec déterminant
Posté par fplanina
Bonsoir à tous et merci de votre attention ,
Voilà , j'ai un souci sur un exercice :
Voici l'énoncé :
Soit (O;\vec{i} ;\vec{j}) un repère orthonormé du plan.
On définit les vecteurs non nuls \vec{u} (x;y) et \vec{v} (x';y')
1.Montrer que que sin (\vec{u},\vec{v}) = (xy'-xy) / (∥ \vec{u}∥ ∥ \vec{v}∥)
Donc le but de l'exercice est de déterminer l'aire d'un parallélogramme à l'aide de la notion de « déterminant ». J'ai bien saisi que sin (\vec{u} , \vec{v} ) * ∥ \vec{u}∥ ∥\vec{v}∥ donnait l'aire du parallélogramme en se servant de la base multipliée par la hauteur , le module \vec{u} * \vec{v} donnant l'aire.
J'ai bien saisi le rôle du déterminant. Le concept est compris.
Cette exercice possède un encadré post-bac (livre TS).Le tout pour un peu vous situer le niveau demandé.
Après beaucoup de temps de recherches (je pensais réellement avoir saisi l'essentiel , j'avais trouvé une démonstration appropriée) , j'ai consulté les corrigés mais là j'ai trouvé une manière toute autre d'aboutir à la démonstration du 1. Voici le corrigé proposé :
sin ( \vec{u} , \vec{v} )
= sin ( (\vec{i} , \vec{v}) - (\vec{i}, \vec{u}) ) BIEN COMPRIS
= sin ( (\vec{i } , \vec{v}) *cos( \vec{i} , \vec{u}) - sin (\vec{i},\vec{u}) * cos (\vec{i},\vec{v})
JUSTE LA AUCUN PROBLEME (j'ai bien saisi qu'il fallait utiliser une formule trigonométrique classique pour y arriver , MAIS PAR CONTRE JE NE COMPRENDS ABSOLUMENT PAS LA TRANSITION APRES , LA VOICI:
donc
= (y'x-yx' )/ (∥ \vec{v}∥ ∥ \vec{u}∥)
donc égal dét ( \vec{u} , \vec{v} ) / (∥ \vec{u}∥ ∥ \vec{v}∥) celle là simple et ce qui conclue la démonstration.
MAIS J'AI BEAUCOUP DE MAL A COMPRENDRE CETTE TRANSITION MALGRé LA PROPRIETE DONNée PAR LE CORRIGé : je cite :
On rappelle que dans un repère orthonormé (O, \vec{i} , \vec{j} )
\vec{u} = ∥ \ vec{u} ∥ (cos ( \vec{i} , \vec{u} ) \vec{i} + sin ( \vec{i} , \vec{u} ) \vec{j})
Alors déjà , je ne trouve pas cette formule dans mes cours , ou alors j'ai dû la zapper. Je l'ai bien saisie mathématiquement , il n'y a pas de problème.
Mais cela dit , je n'arrive à trouver le lien entre cette formule et la transition , si vous pouviez m'apporter quelques éléments pour m'éclairer , je vous en serait très reconnaissant . En souhaitant bon courage à vous tous ! Merci d'avance.
Bonsoir à tous et merci de votre attention ,
Voilà , j'ai un souci sur un exercice :
Voici l'énoncé :
Soit (O;\vec{i} ;\vec{j}) un repère orthonormé du plan.
On définit les vecteurs non nuls \vec{u} (x;y) et \vec{v} (x';y')
1.Montrer que que sin (\vec{u},\vec{v}) = (xy'-xy) / (∥ \vec{u}∥ ∥ \vec{v}∥)
Donc le but de l'exercice est de déterminer l'aire d'un parallélogramme à l'aide de la notion de « déterminant ». J'ai bien saisi que sin (\vec{u} , \vec{v} ) * ∥ \vec{u}∥ ∥\vec{v}∥ donnait l'aire du parallélogramme en se servant de la base multipliée par la hauteur , le module \vec{u} * \vec{v} donnant l'aire.
J'ai bien saisi le rôle du déterminant. Le concept est compris.
Cette exercice possède un encadré post-bac (livre TS).Le tout pour un peu vous situer le niveau demandé.(PS : j'ai mis ce sujet dans le forum lycée auparavant mais je n'ai malheureusement pas eu de réponse , j'essaye donc de le proposer au niveau supérieur).
Après beaucoup de temps de recherches (je pensais réellement avoir saisi l'essentiel , j'avais trouvé une démonstration appropriée) , j'ai consulté les corrigés mais là j'ai trouvé une manière toute autre d'aboutir à la démonstration du 1. Voici le corrigé proposé :
sin ( \vec{u} , \vec{v} )
= sin ( (\vec{i} , \vec{v}) - (\vec{i}, \vec{u}) ) BIEN COMPRIS
= sin ( (\vec{i } , \vec{v}) *cos( \vec{i} , \vec{u}) - sin (\vec{i},\vec{u}) * cos (\vec{i},\vec{v})
JUSTE LA AUCUN PROBLEME (j'ai bien saisi qu'il fallait utiliser une formule trigonométrique classique pour y arriver , MAIS PAR CONTRE JE NE COMPRENDS ABSOLUMENT PAS LA TRANSITION APRES , LA VOICI:
donc
= (y'x-yx' )/ (∥ \vec{v}∥ ∥ \vec{u}∥)
donc égal dét ( \vec{u} , \vec{v} ) / (∥ \vec{u}∥ ∥ \vec{v}∥) celle là simple et ce qui conclue la démonstration.
MAIS J'AI BEAUCOUP DE MAL A COMPRENDRE CETTE TRANSITION MALGRé LA PROPRIETE DONNée PAR LE CORRIGé : je cite :
On rappelle que dans un repère orthonormé (O, \vec{i} , \vec{j} )
\vec{u} = ∥ \ vec{u} ∥ (cos ( \vec{i} , \vec{u} ) \vec{i} + sin ( \vec{i} , \vec{u} ) \vec{j})
Alors déjà , je ne trouve pas cette formule dans mes cours , ou alors j'ai dû la zapper. Je l'ai bien saisie mathématiquement , il n'y a pas de problème.
Mais cela dit , je n'arrive à trouver le lien entre cette formule et la transition , si vous pouviez m'apporter quelques éléments pour m'éclairer , je vous en serait très reconnaissant . En souhaitant bon courage à vous tous ! Merci d'avance.
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