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Aire d'une ellipse par intégrale double
Bonjour,
je dois calculer l'aire d'une ellipse par intégrale double. a>0 b>0.
Je fais donc un changement de variable x = ar cos(t) et y = br sin(t) avec r variant dans ]0;1] et t dans [0;2
[
Je trouve le Jacobien J(r,t)= |abr|=abr.
Ce qui donne 
r²(cos²(t)+sin²(t))*abr drdt
Soit abr3 drdt
=abr3(dt)dr. Comme t varie dans [0;2[,
=2abr3dr. r variant dans ]0;1], on a
=2ab]*(1/4)
=1/2ab
Or on est censé trouver ab puisque si a et b valent 1, on a un cercle dont l'aire vaut *1².
J'ai du faire une erreur, mais aussi grosse soit-elle je ne la vois pas...
merci d'avance.
tout simplement tu pars d'une mauvaise intégrale
on doit juste intégrer dxdy
et à ce moment là le changement de variable conduit à intégrer abr
ce qui donne bien
Bonjour
je ne comprends pas ta première ligne de calcul (quand tu dis "ce qui donne donc").
par définition, si D est le domaine définie par l'ellipse, alors l'aire est égale à
Donc quand tu fais ton changement de variable, il n'y a que le jacobien qui apparaît (pourquoi r² ?)
Kaiser
Bonjour
Le problème vient de la définition de l'aire!
L'aire vaut sur le domaine. En polaires et dans ton cas, simplement
ce qui fait bien
)Re!
Tout d'abord merci de ces réponses rapides!
J'ai compris mon erreur. Effectivement l'aire vaut dxdy sur D.
Mais ca reste flou pour moi. Quand j'ai dit "Ce qui donne donc", en fait j'ai fait x²/a²+y²/b² où j'ai remplacé a et b par les nouvelles valeurs venant du changement de variable.
Je dirais timidement que ce que j'ai calculé est en fait un volume dont la base est une ellipse et où z décolle pour chaque couple (x,y) de x²/a²+y²/b².
Je suis en train de faire un autre exo et je galère parce que justement j'ai pas bien compris ce point.
pour trouver un volume il faudrait calculer
dxdydz sur un cylindre de base elliptique.
si tu veux intégrer ss changer de variable pour calculer ton aire d'ellipse
ce qui est plus sportif
on fait varier x de -a à +a
et d'abord (dans l'intégrale intérieure)
y de à
(tranche "verticale" de lellipse)
dans ce cas tu utilise l'équation de l'ellipse pour voir entre quelles bornes intégrer pour y lorsque x est fixé
La logique de ton raisonnement apaugam est complètement comprise. Merci.
Par contre... toujours pas compris l'histoire de l'intégrale double la en fait.
Si l'on fait z dxdy où z dépend de x et y, c'est pas le volume qu'on obtient?
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