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En 2 secondes je trouve que l'aire c'est 3c²(2+3) où c est la longueur du côté du dodécagone

et si l'on connaît le rayon du cercle circonscrit (R) on a :aire=3* R²

Merci à vous deux !!

hello

Pour construire un hexagone, on trace des arcs de cercles de rayons r, chaque cote du dodeca mesurera donc  r/2

il y a 12 triangles isocèles dont la hauteur est l'apothème

cette hauteur coupe la base en son milieu, on a donc deux tr rectangles et on peut determiner a (apothème)

a² = r²-(r/4)²
a² = r²-(r²/16)
a² = 15 r²/16

a = r V15 /4

A = 12 triangles

A = (12 .r/2) . (r V15 /4) /2         (((12 cotés de r/2 multipliés par l'apothéme, sur 2 )))

A = 3r² V15 /4


a++

Bonsoir.
Inscrivons le dodécagone dans un cercle.
Soient O le centre de ce cercle, r son rayon et A, B, C trois sommets consécutifs du dodécagone.
Soit H l'intersection de [OB] et de [AC].
OAC est un quartier de l'hexagone; il est équilatéral, car OAC = 60°.
O et B sont chacun à la même distance de A et de C; ils sont donc sur la médiatrice de [AC] et H est le milieu de [AC].
Le triangle OAB a pour base le rayon [AB] mesurant r et pour hauteur [HB]; HB = AC/2 = OA/2 = r/2.
L'aire du triangle OAB = (r*r/2)/2 = r²/4.
L'aire du dodécagone = (r²/4)*12 = 3r².

Relation entre le côté du dodécagone et le rayon.
[AB] est l'hypoténuse du triangle ABH.
Dans le triangle OAH, OH² = OA²-AH² = r²-(r/2)² = r²-(r²/4) = 3r²/4;  OH = √3r/2.
HB = OB-OH = r-(√3r/2) = (1-(√3/2))r
AB² = AH²+HB³ = (r/2)² + [(1-(√3/2))r]²
= r²/4 + r²*(1 + 3/4 - √3)
= r²*(1/4 + 1 + 3/4 - √3) = (2-√3)r²
côté² = (2-√3)r²
r² = côté²/(2+√3)
aire du dodécagone = coté² * 3/(2-√3)
pour arriver à la formule transmise par Raboulave, on multiplie le numérateur et le dénominateur par 2+√3
aire = côté² * 3*(2+√3) / (2-√3)(2+√3)
et le nouveau dénominateur est 1, d'après la formule (a-b)(a+b) = a²-b²