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Aire et lunules.

Posté par
lake
10-06-21 à 14:30

Bonjour à toutes et à tous,

Vu cet exercice qui m'a bien plu :

   Aire et lunules.

M décrit le demi-cercle de diamètre [BC] et N l'arc BC de centre A

Exprimer l'aire S (en bleu) en fonction de x=Bm (et de a=AB=AC)

Il est souhaitable de blanquer.

Bon amusement

Posté par
matheuxmatou
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 19:32

bonsoir

je proposerais bien

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 19:40

Bonsoir matheuxmatou,

  

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Posté par
derny
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 21:37

Bonsoir
Je n'ai pas cherché mais il me semble que la surface de la lunule complète vaut la surface du triangle ABC.
Par ailleurs il me semble aussi que la formule de matheuxmatou ne fonctionne pas si x milieu de BC.

Posté par
derny
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 21:45

Si le résultat est simple et surprenant ce pourrait-il que ce soit :
axV2/4

Posté par
carita
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 21:51

bonsoir à tous
merci lake pour cet exercice

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 21:57

Bonsoir carita,

  

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 22:01

Bonsoir derny,

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Posté par
carita
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 22:03

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Posté par
matheuxmatou
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 22:58

lake

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 23:07

matheuxmatou,

  

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Posté par
matheuxmatou
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 23:30

bon... calculs repris calmement

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Posté par
matheuxmatou
re : Aire et lunules. 10-06-21 à 23:31

lake je m'étais gouré dans une aire de triangle !... bravo,

Posté par
matheuxmatou
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 00:00

donc...

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Posté par
dpi
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 07:02

Bonjour,
Je me lève et je découvre ce bel exercice
Pour le moment...

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 09:56

Bonjour matheuxmatou,

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Posté par
matheuxmatou
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 10:14

lake

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 11:05

Bonjour dpi,

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Posté par
carita
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 11:52

bonjour à tous

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 11:59

Bonjour carita,

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Posté par
carita
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 16:11

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 18:23

carita :

  

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Posté par
malou Webmaster
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 18:35

Bonjour à tous
> lake

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 11-06-21 à 22:16

Bonsoir malou

Citation :
bel exo


J'en étais bien convaincu et c'est la raison pour laquelle je l'ai posté sur l'

A tous :

1) Ma "source" (qu'il n'est pas bien difficile "d'identifier")  m'a indiqué que cet exercice provenait du 1er tome "Leçons de géométrie élémentaire" de Jacques Hadamard (parmi des milliers d'autre).
2) Cette même source m'a quasiment promis une solution différente de la mienne dans un avenir proche.
   Je ne manquerai pas de revenir ici même  vous la communiquer.

Ceci dit, je n'oublie pas dpi qui, j'en suis sûr, planche toujours. Il a une qualité que je n'ai pas : je sais qu'il ne regarde jamais les blanqués.
Je serai toujours là pour lui
Bonne fin de semaine à toutes et à tous

Posté par
dpi
re : Aire et lunules. 12-06-21 à 08:32

Merci lake

J'étais parti sur une piste calculatoire...
Avec les angles j'en étais aux  surfaces des 4 morceaux de la section de la lunule...

Posté par
derny
re : Aire et lunules. 12-06-21 à 08:46

Bonjour à tous
Comme déjà dit étant pris par ailleurs je n'ai pas trop le temps malheureusement de participer à tous les problèmes proposés sur ce site. Pour ce problème j'ai appliqué la méthode « Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques », c'est-à-dire que pour espérer résoudre 18 problèmes du très facile au plus difficile il faut trouver astuces et méthodes qui font gagner du temps. Une des méthodes est de, en partant de cas particuliers simples, en tirer une loi générale. Suivant les situations cette façon d'opérer conduit à une fausse solution. Seulement, avec l'expérience, on « sent » quand cette méthode peut fonctionner. Parmi les nombreux championnats dont j'ai participé, je m'en suis pas mal tiré. Une année j'ai été champion régional catégorie « Haute compétition ».
Pour ce problème j'ai calculé la surface totale de la lunule (très facile). Et avec la moitié de la lunule cela faisait 2 cas particuliers pour x ce qui m'a permis de trouver immédiatement la formule demandée. Cependant, pour ne pas casser l'élan des chercheurs j'ai écrit « au second degré », c'est-à-dire que j'ai laissé le doute sur ce que j'écris. Ceux qui connaissent mes problèmes ont du comprendre ma démarche cachée.
Cependant, les diverses résolutions proposées ont permis à certains de revoir des notions vues au collège et lycée ce qui est toujours profitable. Merci Lake pour ce problème intéressant à plus d'un titre donc.
PS : la surface de la lunule est une surface entre 2 arcs de cercle et est égale à la surface d'un demi carré. Avant que l'on ne démontre que la quadrature du cercle est impossible, on avait essayé de résoudre ce problème grâce aux lunules.

Posté par
Imod
re : Aire et lunules. 12-06-21 à 19:05

Bonjour

Je n'ai pas participé au fil mais je me permets de réagir à certaines réactions .

1°) Dpi ne regarde jamais les blanqués , les autres ne sont pas clairs

2°) On développe des stratégies pour expédier les problèmes au plus vite , on n'est plus dans les maths mais dans la performance et la compétition

Avant de recevoir une avalanche de critique , je précise que pour moi les maths ont toujours été un jeu collectif et que je n'aime pas les blankés ( je ne l'ai jamais caché ) ou alors il faut aller jusqu'au bout c'est à dire n'autoriser la lecture qu'à l'émetteur avec tous les risques que cela comporte .

Imod

PS : Quitte à me faire haïr jusqu'au bout , je n'aimais non plus les énigmes du site . Elles étaient souvent passionnantes mais seul le résultat final avait son importance : les plus belles énigmes sont celles dont on connait la réponse qu'il faut justifier .    

    

Posté par
mathafou Moderateur
re : Aire et lunules. 12-06-21 à 22:08

Bonjour,

juste en passant , cela revient à démontrer que ces deux aires sont égales :

Aire et lunules.

et que par conséquent l'aire demandée initialement est égale à celle du triangle rectangle isocèle BHM = 1/4 BM²

je ne blanque pas vu que "le résultat" était deja mis en clair et que je ne dis pas comment démontrer ça, ni le rapport entre " 1/4 BM² " et la formule citée)

Posté par
lake
re : Aire et lunules. 12-06-21 à 23:02

Bonsoir mathafou,

   J'ai décortiqué ta solution en particulier la fin :

    BM^2=\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{Bm}.\overrightarrow{BC}=a\,x\,\sqrt{2}

  Il n'est pas impossible que ma "source" citée plus haut ait cette belle solution en tête

Posté par
lake
re : Aire et lunules. 12-06-21 à 23:56

Bonsoir domi,

La question des blanqués :

    De mon point de vue, c'est sans importance; nous sommes ici dans un forum "détente" où le but principal est de s'amuser sans esprit de compétition. Les différents intervenants, qu'ils les regardent ou pas, prennent plaisir à participer. C'est le principal.

  Ceci dit, un matheuxmatou a pris le risque de donner une première réponse "à l'arrache" et s'est très vite rattrapé ensuite (je lui faisais confiance ).

   Une carita a reconnu avoir jeté un œil sur une figure mais a cerné le problème de A à Z. Je la félicite encore

  Un derny a émis une conjecture (tout à fait correcte!) suite à une de mes remarques.

  Un dpi a cherché sans regarder quoique ce soit.

Ce que je retiens : tous les intervenants y ont pris un certain plaisir. Je le redis : c'est le principal.

  Parlons d'autre chose (mais toujours en relation avec les blanqués) :
Il y a encore peu de temps, je participais aux mots croisés de littleguy.
Je n'ai jamais pu résister aux blanqués.  Bref, il fallait absolument que je poste en premier. En conséquence, une grille me coutait à minima une nuit blanche.
Aujourd'hui, (fatigue, vieillissement, atmosphère covidesque ?), je manque cruellement d'énergie et je ne participe plus.
Mais c'est mon choix : je pourrais continuer (en regardant les blanqués de ceux qui sont plus rapides que moi) et  m'en inspirer. Je pense que personne ne m'en voudrait
Où serait le mal ?
Sur le forum détente, nous nous amusons tous

Posté par
dpi
re : Aire et lunules. 13-06-21 à 07:12

Bonjour à tous

J'aimais beaucoup les "énigmes" car les blanks étaient inviolables....
quant au résultat il fallait être précis (j'ai eu une poissonnerie bien pleine à parfois
1/100000000.....ème près ),et rapide pour le fameux classement.
Comme la démo n'était pas nécessaire  on ne la donnait que lorsque elle était  particulièrement belle...

Ici , j'essaye de me jeter sur le sujet en premier (voir  Somme )
J'avoue que pour les grilles de littleguy quand je bloque ...souvent je  regarde d'un
oeil le mot le plus long des ténors...et je repars à la pêche...

Au passage,je viens de voir la magnifique solution de mathafou pour la lunule.

Posté par
Imod
re : Aire et lunules. 13-06-21 à 11:59

J'ai mes moments d'humeur qu'il ne faut surtout pas prendre au mot

Certains sujets deviennent illisibles suite à de multiples messages croisés entre ceux  qui ont lu , pas lu , à peine lu , survolé ... certains blankés . Si on veut comparer les approches des uns et des autres , on laisse à chacun le même rôle , tout le monde lève les blanks . Avec les mots croisés on change de registre et là je serais pour un vrai blankage que seul le concepteur pourrait lever .  Pour les énigmes , il s'agissait d'être très rapide et de ne surtout pas perdre de temps à justifier : je laisse ma place ( et pourtant ... ) .

On est bien sûr là pour s'amuser , on peut blanker ici et pas ailleurs , ce qui donne parfois envie d'en abuser .

Qui a trouvé quoi en premier puis qui a ajouté la seconde brique à l'édifice , ... est-ce vraiment important , le plaisir est collectif et chacun applaudit les efforts de tous  : c'est cela la détente , non ?

Imod.







  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Aire et lunules. 13-06-21 à 22:57

Bonsoir,

j'ai vu que lake avait transmis "ma solution" chez les voisins, (je n'ai plus de compte là bas mais je surveille du coin de l'oeil )
Aucun problème, toutefois mon idée là dedans était de ne faire absolument aucun calcul du tout !!

détails de cette solution (du coup je blanque, pour les détails) :

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Posté par
lake
re : Aire et lunules. 14-06-21 à 14:53

Bonjour,

En fait, ma "source" en avait un troisième en tête :

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Posté par
mathafou Moderateur
re : Aire et lunules. 14-06-21 à 15:03

mais est-ce une démonstration, ou une illustration du résultat ?
connaissant la facilité avec laquelle ils alignent les calculs là bas sans même s'en rendre compte...

Posté par
lake
re : Aire et lunules. 14-06-21 à 15:25

Comme je vois la chose, en repartant de la première solution :

   S=\mathcal{A}_{AIB}-\mathcal{A}_{MIO}

  on montre que \mathcal{A}_{MIO}=\mathcal{A}_{mIA} (par exemple avec \dfrac{Im}{IM}=\dfrac{IO}{IA} et les triangles rectangles ImM et IOA)

d'où S=\mathcal{A}_{AmB}

On ne peut pas appeler ça vraiment du "calcul"



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