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Aire et périmetre

Posté par Tess (invité) 26-07-04 à 17:21

Faux-ami ou question bête ?

Quelle est la formule pour calculer la surface d'un quadrilatère quelconque
sachant que seul son périmètre est connu.

Mon quadrilatère n'est ni un carré ni un rectangle ni un parallelogramme
ni un trapèze... Il est vraiment "quelconque" et il m'est
impossible de mesurer une quelconque "hauteur".
Je n'ai vraiment que la longueur des 4 côtés.

Est-ce possible ?

Merci.

Tess.

Posté par
muriel Correcteur
re : Aire et périmetre 26-07-04 à 17:38

bonjour, (c'est une marque de politesse)
je ne sais pas si tu as le quadrilatère sous les yeux, mais si ce n'est
pas le cas, tu peux remarquer que la simple donnée du périmètre ne
suffit pas.
Je prends 2 exemples: un carré de 1 unité de côté; et un rectangle de
longueur 1.5, de largeur 0.5.
(je sais que ton quadrilatère est quelconque, mais si sur des cas particulier
ceci ne fonctionne pas, alors on ne peut pas opérer dans la généralité)
tu remarquera que les 2 périmètre ont le même périmètre, mais pas la
même aire.
au revoir

Posté par Tess (invité)+ 27-07-04 à 10:00

Bien vu, pourtant c'est possible avec un triangle quelconque
!

Comment font les géomêtres pour arpenter un terrain "polygonal" ?
Font-ils une multitude de mesures pour "dégager" autant de triangles que
necessaire ?

Ou ont-ils des formules mathématiques (informatique...) ?

Tess.

P.S.  : J'ai toujours l'habitude d'être très polie mais
dans les 2 ou 3 posts précédents, le nombre de bonjour est très inférieur
à 1post sur 2 !
J'en ai déduit que la règle était à la convivialité "admise" (non impolitesse
= politesse).
Voilà ...

Posté par
muriel Correcteur
re : Aire et périmetre 27-07-04 à 16:33

bonjour,
à mon avis, et sur les connaissance que j'ai (mais elle ne doivent
pas forcément suffir), je ne connais aucune formule qui permet de
répondre au problème, mais peut-être d'autre personne peut confirmer
ce que je dis.

pour ce qui est de la politesse, on n'a trop tendance a l'admettre,
c'est pourquoi j'avais répondu ainsi, mais il ne faut pas
non plus en offusquer.
@+

Posté par collinux (invité)re : Aire et périmetre 09-08-04 à 22:17

Les longueurs des 4 côtés ne suffisent pas. Il faut connaitre un
angle pour trouver la surface du quadrilatère.

Je l'ai constaté en utilisant un logiciel de cao. Mon problème
était de retrouver la forme d'un quadrilatère connaissant ses
4 côtés et sa surface. Par tatonnement, j'obtiens pour une surface
donnée, 2 angles possibles et donc 2 formes possibles (sauf si aire=aire
maxi, une seule forme)

Posté par rineone (invité)1 Quadrilatère = 2 triangles 16-08-04 à 10:43

Bonjour à tous,

votre discussion et vos interrogations m'intéressent vivement : je cherche une formule directe qui me calcule l'aire d'un quadrilatère connaissant les coordonnées de ses 4 somments en 3D (x,y,z).

Remarquons tout d'abord qu'un quadrilatère est l'assemblage de 2 triangles, et la formule donnant l'aire d'un triangle doit exister quelque part. Le problème revient donc à décomposer correctement le quadrilatère en 2 triangles, c'est facile visuellement, mais pas automatiquement. Difficulté levée en connaissant l'ordre de parcours des arêtes : 3 sommets qui se suivent forment un des triangles.

Prévenez-moi si je n'ai pas tout vu, quant à moi, je pars à la recherche d'une formule générale qui me donnera l'aire d'un triangle quelconque connaissant les coordonnées en 3D des 3 sommets...

A plus

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Aire et périmetre 16-08-04 à 11:26

Ton problème rineone est différent de celui évoqué dans les interventions précédentes.

En connaissant les coordonnées des 4 sommets, le quadrilatère est parfaitement défini, ce qui n'est pas le cas si on connait seulement la longueur des cotés sans plus.

En supposant qu'on connaisse les coordonnées des sommets du quadrilatère et que le quadrilatère soit convexe.

Soit le quadrilatère ABCD, on le coupe en 2 triangles,
par exemple les triangles ABC et CBD.

On peut calculer la longueurs de tous les cotés de ces triangles (puisqu'on connait les coordonnées de tous les sommets).

Il suffit alors d'appliquer la formule de Heron (si je me souviens bien de son nom) qui donne l'aire d'un triangle en fonction des longueurs de ses cotés.

Soit a, b et c les longueurs des cotés d'un triangle et S la mesure de son aire, on a:

S = racinecarrée[p.(p-a).(p-b).(p-c)]
dans laquelle p = (a+b+c)/2

On peut ainsi calculer l'aire des 2 triangles et ...






Posté par rineone (invité)re : Aire et périmetre 16-08-04 à 11:37

Bonjour J-P,

merci de ta réponse, j'ai effectivement lu un peu vite le problème posé tellement omnubilé par le mien, de problème )

Et oui tu as tout à fait raison, c'est bien la formule de Heron (d'Alexandrie) qui est la plus pratique pour l'aire d'un triangle.

désolé oups d'avoir répondu un ch'tit peu à côté

Merci encore J-P (correcteur)

Posté par collinux (invité)Aire et périmetre 28-08-04 à 10:58

La formule permettant de calculer la surface d'un quadrilatère quelconque convexe en fonction de ses côtés (a,b,c,d) et de l'angle entre ses diagonales (alpha) :

S = 1/4.(b^2 + d^2 - a^2 - c^2).tan(alpha)

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Aire et périmetre 28-08-04 à 11:08

Jolie formule collinux, mais comment par exemple l'utiliser pour calculer l'aire d'un carré ou d'un losange ?

Je suis taquin.

Posté par Dasson (invité)re : Aire et périmetre 28-08-04 à 18:05

Bonjour,

Les longueurs des côtés ne suffisent pas : il faut une donnée supplémentaire qui peut être un angle (comme Collinux l'a écrit) ou, ce qui revient au même,  la longueur d'une diagonale.
Une double application de la formule de Heron, suggérée par J-P, montre bien que l'aire est fonction de cette diagonale.
Plus simplement, on peut fixer deux sommets opposés d'une infinité de façons et construire pour chaque choix un quadrilatère convexe dont les côtés ont les longueurs données...
Un logiciel de géométrie dynamique pourrait illustrer.



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