Bonsoir.

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Un calcul rapide donne 9

Bonjour
Et merci d'animer...
72 et 79 sont ils  les aires totales des triangles ou celles des quadrilatères?

Oui , 72 et 79 sont les aires des quadrilatères . La démonstration tient en une ligne .

Imod

bonjour

sympa ce petit problème !

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pour s'y retrouver je vais nommer les points intervenant :

E sur (AB)
F sur (BC)
G sur (DC)

l'aire de AFD est la moitié de l'aire du parallélogramme, de même que la somme des aires de AED et de EGB

en égalant ces machins-là, les deux aires inconnues disparaissent et reste l'aire cherchée égale à 79+10-72-8 = 9

Je crois me souvenir du théorème de Pick
Je verrai demain.........

C'est ça Mateuxmatou

Question subsidiaire : existe-t-il un ou plusieurs parallélogrammes réalisant les données initiales et si oui lesquels ???

Imod

PS ( @Dpi ) : Pick c'est pour les polygones dont les sommets sont aux nœuds d'un quadrillage mais on peut ajouter cette contrainte ( je crains qu'alors il n'y ait pas de solution )

Bonjour,

ça me rappelle une énigme (du forum énigmes) sur le potager de Mme je ne sais plus qui ...
comme ça date pas mal mon fichier ggb a certainement dû disparaitre dans le crash de mon vieux PC ...

PS retrouvé l'énigme : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume

Merci mathafou
Ayant bien répondu à l'enigmo 281 ,je ne pouvais pas me tromper...

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Je vais faire rire les curieux qui liront:
Ce genre d'exercice fait apparaitre des additions et des soustractions.
Comme  les données sont : 8 10  72 et 79 et que nous cherchons une aire
rose autour de 10....
79+72+10+8   beaucoup trop.
79+72+10-8    pas très bon
79+72-10+8     bof
79+72-10-8      rebof
79-72+10+8= 25  
79-72+10-8 = 9  je penche assez pour ça
79-72-10 +8 =5  un peu léger
79-72-10-8    sent le négatif

En effet l'idée du problème est la même que celle de  l'Enigmo 281 , il y a donc peu de chances que l'on puisse donner des valeurs exactes aux côtés du parallélogramme ou aux aires restantes .  Certains choix des aires initiales pas trop simplistes doivent quand même pouvoir donner des résultats intéressants : à suivre ...

Par exemple est-il possible que les 11 aires de mon dessin ou les 8 aires de l'Enigmo 281 soient des entiers tous différents ( on réinitialise les données ) ?

J'ai d'autres questions  mais ça sera pour un autre sujet  si on veut bien me suivre

Imod

Bonjour,
@dpi

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Et pourquoi pas -79+72+10+8 ?

Bonsoir.
Pour les rectangles "genre Enigmo 281", on trouve, grâce à l'informatique beaucoup de solutions. Je n'ai pas mis de compteur à mon programme mais jusqu'à L=100 on a environ 380 solutions. Le plus petit rectangle étant 10x6 et le plus petit où toutes les surfaces sont entières est le rectangle 21x20.

… entières et différentes pour 21x20

Rectangle 21x20 où toutes les surfaces sont différentes

Oui Derny , bravo

On remarque que les points E et F sont placés respectivement à la moitié et au tiers de [AD] et [AB] ce qui facilite le calcul à la main .

Les aires considérées ici sont réalisées à partir de lignes brisées ...NSNS... et ...EOEO... allant d'un coin à un autre . Dans le problème initial il y a un "rebond" de plus  que dans l'Enigmo mais rien n'empêche d'aller voir encore plus loin .

Imod

Bonsoir
A noter que, si on "incline" un rectangle pour en faire un parallélogramme, les rapports entre les surfaces sont conservées. Pour avoir aussi les mêmes surfaces il suffit que les hauteurs soient identiques.
J'ai étudié tous les rectangles jusqu'à L=80 pour l'instant (géométrie analytique puis programme), et aucun n'a les surfaces indiquées pour cette énigme. Ci-dessous quelques uns des rectangles à surfaces entières (60 solutions jusqu'à L=80).

Autres

Oui Derny , ça nous fait plein de solutions et le problème est sûrement trop ouvert

Il y a d'autres questions intéressantes en se limitant aux carrés . Par exemple trouver le plus petit carré découpé ..NSNS.. et ...EOEO... en parts entières et différentes en fonction du nombre de rebonds NS et EO .

Imod  

Joyeux Noël à tous
La nouvelle du jour : la figure initiale de l'énoncé est effectivement réalisable. Sauf que les surfaces non indiquées ne sont pas "entières" ni même que les dimensions du rectangle (ou du parallélogramme).

Une petite variante entre les fêtes

Quelle est donc cette aire rouge enfermée dans le carré ????



Imod

PS : pour finir l'année proprement je me suis arrangé pour la réponse soit entière .

PPS : amusez-vous bien

Bonsoir

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Un calcul approximatif donne 1043 sans garantie

Bonsoir Derny , j'ai une autre réponse mais je ne suis pas sûr qu'elle soit unique même en imposant qu'elle soit entière .

Attendons d'autres avis

Imod

Bonsoir. On a une fonction de 4 variables (côté du carré et positions des 3 points sur les côtés). J'ai établi les formules donnant les surfaces en fonction des variables. Puis j'ai établi un petit programme mais, avec 4 variables et une précision de 3 décimales pour ces variables mon ordinateur "rame". Je n'obtiens aucune surface entière mais "beaucoup " de solutions approchées. Il faudrait augmenter la précision mais, même dans ce cas, je ne suis pas sûr qu'une solution existe. Ci-dessous une des solutions approchées obtenues.[blank][/blank]

Inutile de blanker puisque plus de nouvelle contribution.

Bonjour. Imod, ton problème est probablement impossible.
Le problème suivant "beaucoup plus simple" est impossible même si ça reste une conjecture.
Trouvez un point à l'intérieur d' un carré où les 4 distances aux sommets soient entières et différentes (on ne demande pas que les surfaces des 4 triangles intérieurs soient entières).

Sauf erreur mon problème a au moins une solution en valeurs entières , les autres aires sont rationnelles . J'aurais pu m'arranger pour que toutes les aires soient entières , je ne l'ai pas fait pour réduire la taille des données .

Dans ma solution l'aire du carré vaut 8360 .

Imod

PS : je n'ai eu aucun problème à trouver cette solution car j'ai pris le problème à l'envers mais je vois mal comment justifier l'unicité de cette aire entière à supposer qu'elle soit  vraiment unique .

Bonjour Imod, pourrais-tu me donner la position des 3 points sur les côtés car je n'arrive toujours pas à trouver la solution.

Sauf erreur le point de 95 se situe au tiers à gauche , celui de 418 au tiers en bas et 88 au milieu  .

Plus généralement on peut prendre a , b et c rationnels quelconques inférieurs à 1 dans un carré de côté 1 , les différentes aires sont alors rationnelles . On multiplie l'aire du carré par le PGCD des dénominateurs des aires et toutes les aires deviennent entières . Ici j'ai multiplié par 8360 pour que les 4 aires choisies soient entières entières .



L'existence est assurée mais pas l'unicité car on peut obtenir les aires 88 , 95 et 418 avec d'autres valeurs de a , b et c .

Imod

Edit : PPCM des dénominateurs .

Imod

Avant de calculer je ne comprends pas quand tu dis "....et 88 au milieu". Sur ton dessin les 3 points sont sensiblement aux 1/3.

En partant de 1/3 en haut, 1/3 à droite et 1/2 en bas ça ne fonctionne pas. J'aimerais comprendre comment tu as calculé les surfaces.

Avec moi ça marche mais mon dessin ne respecte pas les proportions .

Je te répondrai en détail dans la soirée mais ne soit pas trop impatient :  il y a beaucoup de monde à la maison

Imod

Déjà la fête ...

Sur le dessin précédent , on calcule facilement les coordonnées des points d'intersections , on en déduit les aires des différentes parties en fonction de a , b et c ( je n'ai pas le courage d'écrire toutes les formules ) .

En prenant a=1/3 , b=1/2 et c=1/3 , on aboutit à 5=1/88 , 6=1/95 , 7=1/20 et 10=87/760 . PPCM(20,88,95,760)=8360 , en multipliant l'aire du carré par 8360 on obtient 5=95, 6=88 , 7= 418 et 10=957 .

Bonne soirée .

Imod

Pour résumer , avec a , b , c  donnés j'ai l'impression que l'aire 10 est unique ( pas forcément entière ) ou n'existe pas  . J'ai aussi l'impression que l'aire 10 varie continûment en fonction de k  . Si c'est le cas , il suffit de cerner le domaine d'évolution de l'aire 10 .



Beaucoup de suppositions avec peu d'affirmations

Je ne suis pas sûr qu'on puisse résoudre le problème sans informatique , et là je suis incompétent

Imod

** image supprimée **

** image supprimée **

Bon courage à ceux qui vont lire le message précédent

Il y a quelques problèmes sur le site

Imod

Bonjour,
Je me suis lancée dans les calculs
Tout d'abord, le "....et 88 au milieu" concerne le dessin du 26 à 8h35.
Ensuite, pour les calculs, j'ai cherché des équations de droites puis des coordonnées de points d'intersection.
Enfin pour les triangles, j'ai utilisé des déterminants :
Je retrouve bien S₅=1/88 , S₆=1/95 , S₇=1/20 et S₁₀=87/760

Oui Imod, il y a quelques problèmes car je viens de découvrir ton message de 12h41.

j'en ai supprimé 2 sur les 3

Bonne fin d'année à tous.
J'ai "toutes ces formules". J'avais simplement oublié que des longueurs irrationnelles pouvaient donner des surfaces rationnelles ce qui est le cas ici et c'est pourquoi je n'obtenais que des solutions approchées (en partant de longueurs rationnelles). A l'année prochaine et … pas d'excès.  

On est rassuré sur l'existence d'une solution entière , pour l'unicité il faudra sûrement attendre l'an prochain

Bonne fin d'année à tous .

Imod

Oui, joyeux réveillon à tous !

Oui , c'est une variante du premier problème . La nouvelle question est plus difficile .

Imod

Bonjour,
@Imod :
Il faut nous en trouver un avec 2019, ou 2020 si ça prend du temps

C'est une question parmi beaucoup d'autres

Il y a 11 zones définies de façon plutôt complexe par quatre paramètres a , b , c et k évoluant dans des domaines assez contraints . Ce peut-il que ces aires soient en progression arithmétique , géométrique , harmoniques , suivent une loi de Fibonacci ou autre ... ???

On peut aussi augmenter le nombre de zigzag .

Quand j'ai proposé la variante 88,95,418 , j'étais persuadé qu'il était tellement difficile d'obtenir un quadrilatère rouge à aire entière qu'on pouvait faire l'impasse sur l'unicité . Je suis un peu revenu sur mes certitudes car il me semble que pour k dans un intervalle donné , il y a une ou plusieurs valeurs pour a,b,c donnant une solution à l'aire rouge . Cette aire doit évoluer continûment en fonction de k et donc balayer un intervalle qui ne contiendrait qu'un entier ?

Imod

PS : il y a une erreur dans mon message à images multiples du 31/12 : k=4180 et non son inverse .

PPS : Plein de joie et de bonheur à tous pour cette nouvelle année , avec un peu de maths quand même

Bonjour à tous

J'ai fini par résoudre ce fichu problème ( la prochaine fois j'y réfléchis à deux fois avant de balancer une idée en l'air ) .

Il y a une infinité de solutions entières : tous les entiers supérieurs à 790 . Il est aussi amusant de chercher le plus petit carré acceptant cette configuration mais la solution est peu agréable , je vais réfléchir à une suite plus propre sur un autre fil

Un grand merci aux participants et en particulier à Derny .

Imod

Merci à toi Imod pour ce sujet intéressant.

Oui 2019 est bien dans la fourchette et on peut chercher un carré réalisant la chose mais j'ai bien peur que la solution soit peu agréable à lire

J'ai autre chose en tête de plus souriant mais chacun sait que je suis très lent

Imod