Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Aire maximale
Bonjour à tous. J'ai un petit problème de géométrie mais je ne trouve pas "le truc" s'il y en a un. Je ne sais pas si je le poste dans le bon forum puisque c'est un problème qu'on a eu en préparation d'oral 2 pour le CAPES mais c'est un exercice qui doit être faisable avec des connaissances de terminale au plus. Voilà le problème:
Soit ABC un triangle quelconque. Soit M un point [BC]. On trace les parrallèles à (AB) et (AC) passant par M, elles coupent (AC) et (AB) en B' et C'. Déterminer M pour que l'aire du triangle MB'C' soit maximal.
J'imagine bien sur qu'il faut utiliser Thalès et peut-être Pythagore pour la hauteur mais je bloque vraiment. Merci d'avance
Edit jamo : forum modifié.
bonjour,
tu poses MB=x
l'aire du triangle MB'C' est maximale quand y=aire MB'C+aireMBC' est minimale
sauf erreur de ma part y=où S est l'aire de ABC
toujours sauf erreur je trouve y minimum pour
Ok merci.
Je ne sais pas d'où sorte ces formule mais je vais chercher.
Pourquoi on ne parle pas de l'aire de AB'C' dans y?
Merci encore
J'ai compris pourquoi nous ne parlons pas de l'aire de AB'C' dans y mais toujours pas trouvé d'où vienne les formules, je cherche mais si on pouvait m'aider ça ne serait pas de refu.
Merci encore veleda
Bonjour,
on peut voir que le problème revient à rendre maximum l'aire du parallélogramme (A,B',M,C') : c'est le double de l'aire du triangle.
Et donc à rendre minimum la somme des aires des triangles (MBC') et (MCB').
En posant BM =x BC et donc CM= (1-x)BC il est immédiat que (MBC') est l'image de (CBA) dans l'homothétie de centre B et de rapport x. D'où aire(MBC')=x2 aire(CBA)
De même aire(MCB')=(1-x)2 aire(ACB).
La suite est assez simple. On peut même envisager de traiter l'exercice au niveau seconde, en guidant l'étude de 2x2-2x+1.
>>Willoum
tu dois utiliser le fait que si deux triangles sont homothétiques dans le rapport k le rapport de leurs aires est k²
Merci à vous j'ai finallement trouvé.
En fait je cherchais à calculer l'aire à l'aide de la hauteur au début donc ça coincait.
Bonjour.
Le triangle MB'C' est la moitié du parallélogramme AB'MC' qui est lui-même le triangle ABC dont on a ôté les triangles BC'M et B'CM.
Il faut donc minimiser la somme des aires de ces deux derniers triangles.
Si on pose BM/BC = x : CM/BC = 1-x
aire de BC'M = aire de ABC * x²
aire de B'CM = aire de ABC * (1-x)²
somme des aires : aire de ABC * x² + (1-x)²
si x = 0,5+d; 1-x = 0,5-d
(0,5+d)²+(0,5-d²)² = 0,25+d+d²+0,25-d+d² = 0,5+2d²
0,5+2d² est minimum quand d = 0
donc x = 0,5
M doit être au milieu de [BC]
Annuler
connectez vous