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Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle

Posté par
leSousDoue
13-11-10 à 11:13

Bonjour à tous,
j'ai besoin d'aide pour mon DM. Voici les deux premières questions sur lesquelles je bloque déjà :

  Parmi les triangles inscrits dans un cercle, les triangles équilatéraux sont ceux qui ont une aire maximale.
  Soit un cercle du plan, de centre O et de rayon R. Un triangle inscrit dans est un triangle ayant
  pour cercle circonscrit.
    Pour tout triangle T, on notera A(T) , l'aire de T.

1) Soit ABC un triangle équilatéral inscrit dans . Montrer que A(T)= 33  R² /4 (on utilisera H le milieu de [BC] ).
    Ainsi, tous les triangles équilatéraux inscrits dans ont la même aire, notée M dans la suite. L'énoncé du problème peut se reformuler ainsi:
    tout triangle non équilatéral, inscrit dans , a une aire strictement inférieur à M.

2) Soit ABC un triangle non équilatéral inscrit dans C. On peut supposer que ABAC. Montrer qu'il existe un triangle isocèle inscrit dans ayant une aire strictement supérieure à celle de ABC.
    Ainsi, pour tout triangle T non équilatéral inscrit dans , il existe un triangle isocèle T' inscrit dans tel que A(T)<A(T')

  Merci d'avance

Posté par
Pierre_D
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 13-11-10 à 14:21

Bonjour LeSousDoue,

1) L'aire de ABC est 3 fois celle de OBC, dont la mesure des angles aigus (moitié de l'angle du triangle équilatéral) vaut 30°.

2) C'est moins évident : pense au triangle isocèle de base BC ...

Posté par
leSousDoue
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 17-11-10 à 20:52

Bonjour, merci beaucoup de m'avoir répondu.

Je crois que j'ai trouvé.

Pour la question 1:

OH= R x sin 30°
HB= R x cos 30°
CB= 2 x R x cos 30°

3 = 2cos 30°
sin30° = 1/2

A(T) = 3 x ((OHxCB)/2)
     = 3 x ((R x sin30° x 2 x R x cos 30°)/2)
     = 3 x ((2 x cos30° x R² x sin 30°)/2)
     = (33 x R² x (1/2))/2
     = (33 R²)/4

Pour la question 2, l'aire du triangle DBC est plus grande que celle de ABC car la hauteur d'un triangle inscrit dans un cercle est maximale quand ce triangle est isocèle. Comme la hauteur est la plus grande, alors le produit de la base par la hauteur sur 2 sera plus grande. Donc il existe un triangle isocèle dans ayant une aire plus grande.

Maintenant, j'ai besoin d'aide pour la troisième question qui est :

3) Dans cette question, on montre que pour tout triangle isocèle T inscrit dans , on a A(T)M.
    Soit ABC un triangle isocèle en A (i.e AB=AC) inscrit dans . On pose h=AH où H est le milieu de [BC] et on le note A' le symètrique de A par rapport à O.

   a. Observer les triangles AHC et A'HC et en déduire que A(ABC)=(h3(2R-h)).
On doit montrer que A (ABC)M, c'est à dire h3(2R-h)(27R4)/16.
Pour cela on considère le polynome P défini par  P(x)= x3(2R-x)-(27/16)R4=-x4+2Rx3-(27/16)R4.
Je pense qu'il faut d'abord démontrer que H appartient à [AA']

   b. 1. - Montrer que si h=1,5R alors ABC est équilatéral.
         - En déduire que 1,5R est une racine de P.
         - Déterminer le polynome Q tel que pour tout nombre réel x, P(x)=(x-1,5)Q(x)

      2. 1,5R étant aussi une racine de Q (il y a une raison à cela), factoriser ce polynome et en  déduire que, pour tout nombre réel x, P(x)0  i.e x3(2R-x)(27R4) /16.
Ainsi h3(2R-h)(27R4)/16.

Si vous pouvez déjà m'aider pour la question 3.a., ce sera pas mal.

Merci  
    



Posté par
Pierre_D
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 17-11-10 à 21:33

3a) A, O (et donc A') et H sont sur la médiatrice de BC.
     AA'C est rectangle et donc sa hauteur CH vérifie  CH² = HA.HA' ...

3b) Si h=1,5R , alors O est aux deux-tiers de AH (qui est médiane de ABC) : c'est donc le centre de gravité de ABC, point de concours de ses médianes ; comme c'est par définition le centre de son cercle circonscrit, point de concours de ses médiatrices, médianes et médiatrices sont confondues et ABC est donc équilatéral.
... etc

Posté par
leSousDoue
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 20-11-10 à 18:35

  Une fois encore merci de m'avoir répondu.

Dans la question 3)b.1, je n'arrive pas à déduire que 1,5R est une racine de P.
Pourriez vous m'aider SVP ? merci

Posté par
Pierre_D
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 20-11-10 à 19:09

P(x)=0 correspond à l'aire maximum possible, donc au cas du triangle équilatéral ; si ABC est équilatéral pour x=1,5R , c'est donc que P(1,5R) = 0 ...
... et donc (x-1,5R) est un facteur de P(x).

Posté par
leSousDoue
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 21-11-10 à 12:26

Bonjour, merci beaucoup !

Le DM est bientôt fini, mais il me reste encore 2 questions, qui est la 3.b.2.
Et la dernière question qui est:

4. Soit T un triangle non équilatéral inscrit dans . Montrer que A(T)<M.

Merci d'avance.

Posté par
Pierre_D
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 21-11-10 à 18:14

Quelle que soit la méthode que tu as utilisée pour déterminer Q(x), tu peux utiliser la même pour déterminer S(x) tel que Q(x)=(x-1,5R)S(x).

Je ne vois pas l'intérêt de la question 4 par rapport à la 3a) ...

Posté par
Xaselm
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 24-11-10 à 17:16

Bonjours LeSousDoue, comment tu trouve OH,HB et CB ? et sinon pour la question 4) il faut que tu fasse un résume des reponses précédente

Posté par
mesange
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 24-06-17 à 01:17

Une proposition de démonstration :
Premièrement, on montre que si ABC est inscrit dans un cercle de rayon R, l'aire de ABC est égale à 2R2 sin(A)sin(B)sin(C).
Grâce à la concavité de la fonction ln(sin) sur l'intervalle ouvert de bornes 0  et , on peut prouver que sin(A)sin(B)sin(C) <=sin3((A+B+C)/3)
Sachant que la somme des angles géométriques A,B et C est égale à , on peut finaliser la démonstration.

Si cela vous intéresse, j'ai aussi une démonstration pour l'aire maximale d'un quadrilatère inscrit dans un cercle.  Cordialement,
mesange

Posté par
mesange
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 24-06-17 à 01:26

Post scriptum:
C'est une démonstration, vous l'aurez deviné,  pour un niveau post-bac.

Posté par
Pierre_D
re : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle 06-07-17 à 16:55

Merci,  mesange .



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