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Aire sous une parabole
Exercice DM =
La parabole P d'équation y =x^2 est représentée dans un repère (0,i,j). Le but du problème est d'évaluer l'aire À de la partie colorée comprise entre P, l'axe des abscisses et les droites d'équations X=1 et X=3
On considère les points A(a,0)et B(b,0) où 1 inférieur ou égale à a, b strictement supérieur à a, b inférieur ou égale à 3.
Les points G et H sont les points de P d'abcsisse a et b.
Méthode rectangle
Réussi
Méthode des trapèzes
1) Soit m un réel. Déterminer une équation de la tangente à P au point d'abcsisse m et démontrer que la courbe P est au dessus de cette tangente.
Je trouve pour équation: y=2mx-m^2
2)a) Soit E le milieu [AB] et F le point de P de même abscisse que E. La tangente à P au point F coupe (AG) en C et (HB) en D. On encadre À par les aires des deux trapèzes AGHB et Acdb.
(on admet que pour 1 inférieur ou égale à a, b strictement supérieur à a, b inférieur ou égale à 3. C est au dessous de A et D au dessus de B.)
a) Exprimer en fonction de a et b l'aire du trapèze AGHB.
b) Justifiez géométriquement que le trapèze ACDB a la même aire que le rectangle construit sur la base [AB] et de hauteur [EF].
c) En déduire l'aire de ACDB en fonction de a et b.
d) Quel encadrement de l'aire de la partie du plan comprise entre P, l'axe des abscisses et les droites d'équation X=à et X=b, obtient on ? Démontrez que son amplitude est (b-a)^3 / 4.
Cordialement,
Merci d'avance 
la FAQ du forum
équivalences des systèmes de niveaux scolairesJe suis effectivement en première mais lorsque que je remplissais mon inscription, lorsque je mettais première cela peut demandais mon niveau de diplôme ou à part le brevet je n'en ai aucun.
OK, j'ai modifié ton profil
je passe la main pour l'exo, quelqu'un va prendre le relais
bonne soirée
Je n'arrive pas à la question b, je n'ai pas les coordonnées de C et D je ne peux pas le prouver. Aidez moi svp
2.b) Place le point F , puis trace (approximativement) la tangente en F à la parabole. Trace enfin le rectangle de base [AB] dont le côté opposé passe par F.
Tu pourras alors comparer l'aire de ce rectangle et l'aire du trapèze ainsi tracé.
géométriquement ça ne veut pas dire par un calcul
les coordonnées de quoi que ce soit ne servent à rien du tout.
la propriété géométrique est générale pour tous les trapèzes quels qu'ils soient, paraboles ou pas
il s'agit de justifier pourquoi la parallèle à MN par E milieu de MQ passe par F milieu de NP
et pourquoi par conséquent l'aire du trapèze est égale à celle du rectangle
comment prouver que des verticales sont parallèles ???
mise "en situation" dans le trapèze de l'exo :
"Soit E le milieu [AB] et F le point de P de même abscisse que E"
donc (EF) est verticale et bien parallèle "par définition" aux bases [AC] et [BD] !!
et F est le milieu de [CD] car ... la formule de l'abscisse du milieu d'un segment. l'abscisse de A et de C est a, l'abscisse de B et de D est b, et l'abscisse de E et de F est (a+b)/2 (plus direct ici que Thalès ...)
Merci j'ai trouvé mais avec le calcul question c comment puis-je trouver les valeurs des segments AC et BD
Je ne comprends pas, je sais qu'il faut utiliser donc l'aire du rectangle mais pour cela il nous faut les deux longueurs des hauteurs sur les deux côtés. Sur la figure de Mathafou [AI], [BJ]
"équivalente" veut dire aire du trapèze = aire du rectangle
donc on calcule l'aire du rectangle et c'est tout.
AI = BJ = EF = f(abscisse de E) = f((a+b)/2)) ...
P d'équation y =x^2
c'est ça la fonction
f(x)= x²
l'ordonnée du point d'abscisse a c'est a², l'ordonnée d'un point d'abscisse v c'est v² etc
l'ordonnée du point d'abscisse (a+b)/2 c'est [(a+b)/2]²
Finalement je trouve pour l'aire (b-a)*(a+b)^2
En développant je trouve (b-a)^3
Mais après impossible de retrouver cette encadrement
Aire du trapèze AGHB = . . .
Aire du trapèze ACDB = . . .
Différence entre de ces deux aires = . . .
il faut être précis dans ce qu'on dit
"l'aire" , l'aire de quoi donc ??
l'aire de ACDB est (b-a)*(a+b)^2 /4
ce qui ne fait pas (b-a)3
l'aire de AGHB = (b-a)*(a^2+b^2)/2 (deja dit jadis)
et"visiblement" l'aire sous la parabole est comprise entre ces deux valeurs
c'est à dire
aire (ACDB) < S < aire(AGHB)
soit
(b-a)*(a+b)^2 /4 < S < (b-a)*(a^2+b^2)/2
c'est cela qu'on demande dans "Quel encadrement [...] obtient on"
démontrer que son amplitude ets ...
si m < S < M, l'amplitude de l'encadrement c'est M-m
donc c'est calculer
(b-a)*(a^2+b^2)/2 - (b-a)*(a+b)^2 /4
c'est ça qu'il faut développer et aboutir au final à ce qui est dit
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