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aires de trois triangles

Posté par
alb12 07-01-23 à 12:59

Salut,

\\ $Soit $ABC$ un triangle non aplati. $ \\ $Soit $K,L,M$ trois points distincts des sommets de ce triangle$ \\ $situés respectivement sur les côtés $[BC], [CA], [AB]. \\ $Peut-on affirmer qu'au moins un des trois triangles $AML, BKM, CLK$ \\ $a une aire inférieure ou égale au quart de l'aire du triangle $ABC$ ?$ \\

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : aires de trois triangles 07-01-23 à 17:45

Bonjour alb12

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Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : aires de trois triangles 07-01-23 à 23:02

Je m'explique :

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elhor_abdelali Correcteurre : aires de trois triangles 07-01-23 à 23:42

Une petite coquille

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dpire : aires de trois triangles 08-01-23 à 09:15

Bonjour,

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Imodre : aires de trois triangles 08-01-23 à 12:25

Bonjour

@Dpi , c'est évident mais pourquoi ce triangle n'est-il pas KLM ?

Imod

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : aires de trois triangles 08-01-23 à 22:40

Bonsoir

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Posté par
alb12re : aires de trois triangles 09-01-23 à 09:54

@elhor_abdelali
Oh ! Les jolies formules !
On peut même les épingler aux murs de son bureau, elles sont déjà encadrées

On peut envisager une demo plus elementaire en utilisant une formule connue au lycée

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elhor_abdelali Correcteurre : aires de trois triangles 09-01-23 à 14:29

@alb12

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jandri Correcteurre : aires de trois triangles 09-01-23 à 16:18

Bonjour elhor_abdelali ,

je pense que alb12 a presque la même démonstration que toi à la différence que plutôt que d'utiliser les déterminants il utilise l'expression de l'aire d'un triangle avec le sinus d'un angle. Avec tes notations :

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La fin de la démonstration étant la même.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : aires de trois triangles 09-01-23 à 17:51

Bonjour,
Il n'y a pas une grosse différence entre les déterminants et les sinus utilisés :

|det(\vec{u},\vec{v})| = ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times |sin(\vec{u},\vec{v})| \;

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : aires de trois triangles 09-01-23 à 18:35

Bonjour jandri et Sylvieg

Oui je m'en doutais déterminant et sinus !

Posté par
alb12re : aires de trois triangles 09-01-23 à 19:01

sans les determinants.

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Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : aires de trois triangles 09-01-23 à 20:21

Citation :
je laisse la fin en suspens car il est peut etre possible de terminer plus vite que ce que j'ai prevu.


En effet alb12 (et bravo pour l'idée !)


En multipliant les trois inégalités (strictes)

c_1b_2>\dfrac14(b_1+b_2)(c_1+c_2)

a_1c_2>\dfrac14(a_1+a_2)(c_1+c_2)

b_1a_2>\dfrac14(b_1+b_2)(a_1+a_2)

on obtient

a_1a_2b_1b_2c_1c_2>(\frac{a_1+a_2}{2})^2(\frac{b_1+b_2}{2})^2(\frac{c_1+c_2}{2})^2\geqslant a_1a_2b_1b_2c_1c_2 sauf erreur de ma part bien entendu

aires de trois triangles

Posté par
alb12re : aires de trois triangles 09-01-23 à 23:25

merci pour le graphe
en effet c'est plus court ainsi, j'ai fait:

\\ c_1b_2>\dfrac13(b_1c_1+b_1c_2+b_2c_2)\geqslant(b_1c_1b_1c_2b_2c_2)^\frac13 \\

Posté par
Sylvieg Moderateurre : aires de trois triangles 10-01-23 à 08:39

Bonjour,
En fait, sans faire aucune hypothèse sur les aires SA, SB et SC, on peut démontrer cette inégalité :
(S/4)3 SA SB SC
Elle permet ensuite de conclure.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : aires de trois triangles 10-01-23 à 10:05

Oui Sylvieg


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