Présenté comme ça, la question est difficile.
Auparavant, on peut s'en poser d'autres (rien qu'en regardant la figure).
Questions qui feront l'objet d'"indices" si nécessaire.
Au fait, n'oubliez pas de blanquer

Bonjour,

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On peut en fait couper par n'importe quelle parallèle à l'axe des abscisses d'ordonnée >1 et se demander si le segment découpé par la courbe rouge a même longuer que celui découpé par la courbe verte

On prend donc (sur la verte) et (sur la rouge).
Si , c.-à-d. si , alors et .

Bonjour,

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Une simple étude de fonctions montre qu'une parallèle à l'axe des x d'équation y=h, où h>1, coupe en 2 points A et B, et en deux points A' et B', d'abscisses respectives a, b, a', b'.

On vérifie facilement que et   (1)

Des 4 équations

  on tire par additions

, d'où en utilisant (1)  

dont on déduit que |AB] et [A'B'] ont même longueur.

L'égalité des aires en résulte (formule des 3 niveaux par exemple)

Sauf erreur

@larrech : on ne peut pas invoquer ici la formule des trois niveaux.

Bonjour

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Pas très académique mais j'adore m'amuser avec excel.
En utilisant des méthodes de calcul approché d'équations et d'intégrales ( Newton par exemple) , j'obtiens :
0.129582177 pour l'aire en rouge et 0.129582178 pour l'aire en bleu

@GBZM Exact, j'avais oublié une condition essentielle. pour que ce soit valide.

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En fait mon idée était d'invoquer les intégrales du type

, étant la longueur du segment déterminé par les points d'intersections d'une des courbes et d'une droite d'équation   avec ordonnée du point  A de la figure fournie par lake

Bonjour,

@larrech
ce qu'à fait GBZM est plus rapide, je le réécris en une ligne :

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De on déduit

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par

@jandri J'ai tout à fait conscience qu'aussi bien GBZM que toi me dépassez de cent coudées en savoir  et aptitudes.
J'ai fait à ma façon, c'est tout. Désolé si c'est bien peu. J'suis un modeste.
Je m'étais, cela dit, bien gardé de lire le post de GBZM et ouvrirai  le tien à l'occasion, pourquoi pas..

Bonjour à tous et merci de votre participation
Effectivement, il fallait montrer que (vous avez tous généralisé avec les cordes de même niveau).
jandri a expédié l'affaire en deux lignes (très "concentrées").
Une remarque sur GeoGebra :
Si on refait la figure de départ :
- On rentre les deux fonctions en ligne de commande.
- On obtient par intersection des deux courbes.
- On obtient et par intersection de la parallèle à l'axe des abscisses passant par et des courbes.
On constate que ggb est à l'ouest dés la 6 ème décimale quant aux longueurs et

Bonjour

Le problème récurrent du cache : qui veut quoi , qui répond à qui et qui a lu quoi ? Il faudrait peut-être arrêter de réclamer son usage à tout bout de champ et peut-être demander au besoin à ceux qui connaissent une solution ne pas révéler la révéler complètement .

Imod

On peut généraliser : soit une bijection entre deux parties de , la bijection réciproque. On définit par pour tout et par pour tout . On a bien sûr .
Fixons . Supposons que est un réel tel que et . Alors et . En effet et donc .

Dans la généralisation de GBZM on a aussi l'égalité des aires si on suppose de classe :

par .

Je me demande dans quelle mesure le multi post est interdit.

Merci verdurin : je n'en n'attendais pas moins de toi.
As-tu fait un signalement ?

Quand un problème est intéressant il n'y a aucun mal à le partager  

Je fais tout de même un signalement au cas où : il ne faut pas exagérer tout de même

Imod

Bonne nuit lake.
Non je n'ai pas fait de signalement.
Je suis d'accord avec Imod, il n'y a aucun mal à partager un exercice intéressant.
Mais il me semble poli de citer ses sources quand on fait un copier-coller.

Bonsoir verdurin,
J'ai pris le temps de refroidir avant de réagir. Je pensais ouvrir un fil  sur le forum site. Finalement non.

Il semblerait que le signalement d'Imod n'ait pas été suivi d'effet. Je m'en réjouis

Bonsoir,
Merci lake pour ce sujet intéressant.

P.S. La phrase d'Imod sur un signalement était à prendre au second degré

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec ta vision de nos interventions sur le site . Nous nous inspirons bien sûr de nos expériences et de nos lectures et nous ne bouleversons pas les mathématiques par nos exercices mais je ne me considère pas comme un perroquet ( rien à voir avec l'intervenant que tu cites ) .

J'espère que tu n'as pas pris au premier degré mon trait d'humour sur le signalement . Il ne faut pas prendre trop au sérieux ces petites plaisanteries qui donnent au site un côté convivial .

Imod

Ah ben là, j'en suis bleu (et totalement refroidi ).
J'ai décidément le cuir épais. J'en étais au premier degré ...
Le message d'Imod ce matin, que j'avais immédiatement vu, m'avait mis dans un état ... indescriptible.
À tel point que je m'étais interdit de réagir sur le coup.
Mon côté soupe au lait me joue souvent des tours.
Tout finit à peu près bien. Merci à vous.

J'ai souvent un humour glacial , désolé si je t'ai perturbé bien involontairement

Imod

Bonjour lake, bonjour à tous,

Bonjour larrech,
_{J'avais déjà plus ou moins remarqué : nous sommes des sanguins}

Pour résumer , nous sommes passionnés par ce que nous faisons et en conséquence nous ne sommes pas toujours mesurés dans nos échanges

Imod

Salut lake.
Je n'ai pas le cuir épais, il a été trop blessé.
Mais je te présente mes excuses pour une intervention trop méchante.
Je suis rancunier et c'est un vilain défaut.

Ah! Merci verdurin : ton message me fait très plaisir.
Les contentieux larvés me minent ...
Je n'ai de mon côté aucune excuse. Je tente d'expliquer ce qu'est un tempérament "sanguin" :
- La colère monte instantanément à des sommets qu'une personne normale ne peut pas comprendre.
- On devient immédiatement un "criminel virtuel" et on poste des horreurs.
- Plus tard, la colère retombée, on se relit (avec peine) : "Comment j'ai pu écrire de telles abominations ? Ce n'est pas moi."
- Mais c'est trop tard.
Je te prie moi aussi d'accepter mes excuses. Je pense que tu vois très clairement ce à quoi je fais allusion...

  

Merci lake.

Pour préciser un peu je me suis fait taper dessus à peu près tous les jours de la sixième à la quatrième. Et j'y ai perdu quelques dents. Le harcèlement scolaire est une réalité.
Après j'ai appris à taper le premier. Ce qui n'est pas forcément un bon réflexe, mais ça m'a permis de vivre.
Je suis heureux que nous puissions à nouveau nous entendre.