Sans calculatrice,  retrouver ce 6726, ce n'est pas simple du tout.  Moi, je vais m'en sortir, mais je suis un peu fou.

Si c'était  (3 + 2√2)³ < A, tu saurais faire ?

Et peux tu donner l'énoncé précis de l'exercice, il y a peut-être un truc qui permet d'éviter tous ces calculs.

Salut, ca va,
voici l'exercice complet:

Si A est un entier naturel et que vous avez que
(3 + 2√2)^5 est inférieur à A, (<) quelle serait la valeur minimale que peut avoir A ?.

Merci.

Ok,
Je ne suis pas beaucoup plus avancé, j'espérais un vague indice sur l'idée générale de l'exercice.

Peut-être que la réponse attendue est 6726 (je considère que ton calcul est correct),
mais peut-être que la réponse attendue est simplement E((3+ 2√2)^5)+1
Où E désigne la fonction partie entière.
Et là, il faudrait justifier le +1.

Je n'y crois pas beaucoup, mais peut-être.

ok, merci beaucoup pour ton aide.

Bonjour,
Je confirme que 6726 est exact.
Mais sans calculatrice, c'est galère...
(3-22)(3+22) = 1 pourrait-il être utile ?

(3+22)² = 9+8+122=17+12?2
(3+22)⁴ = (17+122)²=289+288+4082=577+4082
(3+22)⁵ =(577+4082)(3+22)=1731+12242+11542+1632 =3363+23782
Et là, il faut remplacer 2 par la valeur approchée qu'on connaît à peu près tous 1.414 . Mais c'est une valeur approchée, la vraie valeur de 2 est proche de 1.414, mais pas strictement égale à 1.414.
Une fois qu'on multiplie par 2378, la petite différence entre les 2 nombres peut donner une différence plus grande que 1.
2378*1.414, ça peut se faire sans calculatrice, même si c'est long, et on trouve 3362.492
Si on a une calculatrice, on voit que 2378 *2 =3362.9998...
Donc la partie entière donne la même chose, mais c'est un coup de chance.
Sans calculatrice, en fait, on a besoin de connaître une valeur plus précise de 2.
Ou alors, peut-être qu'en utilisant le résultat donné par Sylvieg, on peut trouver d'autres calculs intermédiaires ?
Dans tous les cas, sans calculatrice, cette question est très compliquée. Aucun lycéen ne sait répondre sans calculatrice.
Sauf si """l'arnaque""" que je proposais est acceptée.

_{malou edit > ** j'ai mis les exposants qui manquaient **}

Bravo d'avoir eu le courage de faire le calcul !
Une remarque :
(3+22)⁵ = 3363+23782
et 33632 = 6726.
Étrange, non ?

OK :
(3+22)⁵ = 3363 + 23782
et
(3-22)⁵ = 3363 - 23782
D'où
(3+22)⁵ + (3-22)⁵= 6726.
Ce qui donne
(3+22)⁵ = 6726 - 1/(3+22)⁵

Bravo ! Une coïncidence comme celle-ci, ça menait forcément quelque part.
Maintenant, si c'était la justification attendue par le concepteur de l'exercice, alors tournée générale de champomy !

Merci beaucoup à vous deux.

De rien. Exercice intéressant

Complément qui utilise la formule du binôme :
(3+x)⁵ = 3⁵ + 53⁴x + 103³x² + 103²x³ + 53x⁴ + x⁵

(3-x)⁵ = 3⁵ - 53⁴x + 103³x² - 103²x³ + 53x⁴ - x⁵

D'où : (3+x)⁵ + (3-x)⁵ = 2(3⁵ + 103³x² + 53x⁴)

En remplaçant x par 22, on obtient :
(3+22)⁵ + (3-22)⁵ = 2(3⁵ + 103³8 + 5364) = 23363.

cette vidéo m'a aussi aidé à comprendre ce que vous avez tous fait
et une vidéo sur le triangle de Pascal aussi.
Merci beaucoup!
https://youtu.be/0CSCg_MxZp8