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algebre 1
bonjour tout le monde
je vous propose une solution d'un exercise que j'arrive pas à comprendre .
Exercise
Montrez qu'il n'existe pas d'application surjective d'un ensemble E sur l'ensemble P(E).pour une application f de E dans p(E)on pourra considérer Af=(x appartient à E, x n'appartient pas à f(x) )
Solution
soit f une application surjective .il existe alors a appartient à E tel que f(a) appartient à A.
on ne peut alors avoir ni a appartient à A ni a n'appartient pas à A et la contradiction ainsi mise en évidence infirme la possibilité que f soit surjective .
merci d'avance
Bonjour,
si a appartient à f(a)=A, alors on a une contradiction puisque A c'est justement construit de sorte que l'on ai pas "a inclus dans f(a)".
Donc on a forcément l'autre cas:
a n'appartient pas à f(a), mais dans ce cas, toujours pas définition de A, on a que a appartient à A, or A=f(a) par définition de a.
Donc c'est aussi impossible.
Donc aucun des cas n'est possible.
Sauf erreur(s)
Fait attention, tu te mélanges entre les "appartiens" et les "inclus", et il y'a d'autres erreurs donc c'est une raison qui fait que tu n'as pas compris je pense.
A+
Bonjour hind si est fini on sait que
est aussi fini et que
donc il ne peut y avoir de surjection de
dans
dans ce cas.
dans le cas général (infini ) on raisonne par l'absurde comme dans la solution proposée on suppose alors qu'il existe une surjection
de
dans
et on considére l'ensemble
des éléments
de
qui ne sont pas dans leur image par
(
c'est donc une partie de
)
{
}
mais alors est une partie de
et admet donc elle mm un antécédent par
(puisque celle-ci est supposée surjective) notons
cet antécédent et c'est là la contradiction car
étant un élément de
soit il est dans
soit soit il n'est pas dans A or il n'en est rien puisque
et
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