Soit G un ensemble muni d'une loi de composition interne associative ".".

On veut montrer :
si pour tout a et b dans G, les équations ax=b et xa=b admettent au moins une solution alors G est un groupe.

Applique la définition. Il faut montrer que :
(i) "." est associative (on le sait déjà)
(ii) (G,.) admet un élément neutre
(iii) chaque élément de G admet un inverse.

Question bonus : la réciproque est-elle vraie ?

Nicolas

(ii)
On doit tout de même supposer G non vide.
Soit a un élément de G.
Soit e une solution de a.x=a. On a donc : a.e=a.
On veut montrer que e est élément neutre, c'est-à-dire que, pour tout b, b.e=e.b=b
Soit donc un b quelconque.
Soit c une solution de x.a=b. On a donc : c.a=b.
Alors b.e=(c.a).e=c.(a.e)=c.a=b
De même, on montrer que e.b=b
Donc e est élément neutre.

(iii)
Soit a un élement de G.
Soit a' une solution de a.x=e.
a' est inverse de a

Réciproque ?
G groupe => les équations a.x=b et x.a=b ont une solution ?
C'est évident. Il suffit de multiplier à gauche ou à droite par l'inverse de a.

dans ton (ii) tu a pris e solution de ax=a et pas ax=b, donc tu ne parle pas du fait que la premiere equation (ax=b) doit avoir une solution...

En effet, mais on le droit.
On suppose que "pour tout couple (a,b) de GxG chacune des equations ax=b et xa=b admet au moins une solution"
Je choisis le couple (a,a). Autrement dit, je choisis b=a. C'est un cas particulier de cette propriété générale.
Non ?

"C'est un cas particulier de cette propriété générale.
Non ?"

Si si justement c'est comme tu dis un cas particulier de couple a et b, tu poses ainsi une condition sur ces deux elements et des lors ils ne sont plus quelconques a mon idée...

On suppose que c'est vrai pour a et b quelconques.
C'est a fortiori vrai pour a et b=a.

Catherine s'entend bien avec toutes ses camarades de classe.
Elle s'entend donc bien en particulier avec Véronique.

Tous les mathiliens sont sympathiques. Donc, a fortiori, moi et toi aussi.

C'est comme tu dis, en analyse :
pour tout x>0, f(x)>0 => f(1)>0