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Algèbre
Salut, j'ai des difficultés à résoudre l'exercice suivant:
Soit E un espace complexe muni d'une forme hermitienne non dégénérée. Soit un endomorphisme de E. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
i) il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de est de la forme
et
.
ii) est unitaire et possède deux valeurs propres distinctes
, tel que
.
Pendant mon travail j'ai rencontré des soucis.
J'ai d'abord supposer que i) et montrer ii).
Pour ce faire, je veux démontrer que est unitaire en utilisant la propriété de conservation du produit scalaire. Je pose
la base orthonormée dans laquelle la matrice de
est de la forme
, je prend deux éléments
et
de E et je calcule
, je trouve
. Je me bute à ce niveau. Comment prouver que
pour conclure?
Ensuite je calcule le polynôme caractéristique de et je trouve comme valeurs propres
et
.
Voila ce que j'ai pu faire comme travail. Le reste est floue pour moi.
Merci d'avance.
Bonjour,
Comment prouver que |b|=|c|=1 pour conclure?
Applique la relation que tu as trouvée à des couples de vecteurs particuliers :
x = y = (1,0) et x = y = (0,1)
Bonjour à tous,
juste une question de rigueur :
La notation est inappropriée pour les complexes.
Salut LeHibou, j'ai pensé à ca. Mais prendre des vecteurs particuliers, sera suffisant pour conclure?
Disons plutôt que comme X^2 - bc est le polynôme caractéristique de ta matrice et que tout complexe admet deux racines carrés (c'est pour ça qu'on emploie pas la notation, pour ne pas faire l'amalgame avec la racine carré dans R d'un nombre positif qui est unique permettant de définir une application), il existe z1 et z2 tels que leur carré soit égal à bc. Ainsi z1 et z2 sont tes valeurs propres. Pas besoin de garder le carré.
Sinon pour répondre à la question que tu poses à LeHibou, essaye de calculer le produit avec les vecteurs de coordonnées conseillées et utilise l'hypothèse sur {e1, e2}.
Pour le sens retour, prend un vecteur z1 associé à la valeur propre lambda(1) et prend un second vecteur z2 associé à la valeur propre lambda(2) ; maintenant effectue le produit scalaire.
PS : dans mon précédent message, il faut imaginer un "e" à la fin de chaque "carré"... 
Pour le sens retour, prend un vecteur z1 associé à la valeur propre lambda(1) et prend un second vecteur z2 associé à la valeur propre lambda(2) ; maintenant effectue le produit scalaire.
PS : dans mon précédent message, il faut imaginer un "e" à la fin de chaque "carré"...
En faisant cela, je trouve la relation
salut
Salut LeHibou, j'ai pensé à ca. Mais prendre des vecteurs particuliers, sera suffisant pour conclure?
donc tu peux prendre ceux qui t'arrangent !!!
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