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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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algèbre-anneaux

Posté par
mousse42
11-05-21 à 15:58

Bonjour,

D'après mon cours sur les anneaux on a \Z[\sqrt{2}] et \Z[i] définis comme ceci   \Z[\sqrt{2}] =\{a+\sqrt{2}b :\; a,b\in \Z\} et que \Z[i] =\{a+ib :\;a,b\in \Z\}

J'aimerai savoir si ces anneaux sont construit de la façon suivante :

\Z[\sqrt{2}]=\{P(\sqrt{2}) :\; P\in \Z[X]\}

\Z[i]=\{P(i) :\;P\in \Z[X]\}

et soit \gamma \in \R\backslash\Q

\Z[\gamma]=\{P(\gamma) :\; P\in \Z[X]\}

Posté par
Aalex00
re : algèbre-anneaux 11-05-21 à 16:08

Bonjour,

mousse42

J'aimerai savoir si ces anneaux sont construit de la façon suivante :

\Z[\sqrt{2}]=\{P(\sqrt{2}) :\; P\in \Z[X]\}

\Z[i]=\{P(i) :\;P\in \Z[X]\}

et soit \gamma \in \R\backslash\Q

\Z[\gamma]=\{P(\gamma) :\; P\in \Z[X]\}


Oui c'est, selon moi, les définitions. I.e. : c'est l'image du morphisme d'évaluation en \gamma sur l'anneau des polynômes sur Z.

Posté par
mousse42
re : algèbre-anneaux 11-05-21 à 16:26

merci

Posté par
breuil
re : algèbre-anneaux 11-05-21 à 20:25

Bonjour
simple curiosité. si on remplace i par pi. J'aurais tendance à penser que ce  n'est pas la même chose???

Posté par
carpediem
re : algèbre-anneaux 11-05-21 à 20:25

salut

vu que \sqrt 2 ^2 = 2   pour tout polynome de Z[x] il existe des entiers a et b tels que P(\sqrt 2) = a + b \sqrt 2 ...

Posté par
mousse42
re : algèbre-anneaux 11-05-21 à 20:31

breuil @ 11-05-2021 à 20:25

Bonjour
simple curiosité. si on remplace i par pi. J'aurais tendance à penser que ce  n'est pas la même chose???


Non, ce n'est pas la même chose.

avec \gamma \in \R\backslash\Q

\Z[\gamma]=\{P(\gamma) :\; P\in \Z[X]\}

 \Z[\gamma] ne coïncide pas toujours avec \{a+\gamma b:\; a,b\in \Z\}, c'est ce que j'ai compris d'où ma question.

Posté par
verdurin
re : algèbre-anneaux 11-05-21 à 20:53

Bonsoir,
la question porte apparemment  sur les extensions de corps.
Et il y a une différence fondamentale entre les extensions algébriques et les extensions transcendantes.
De plus une extension algébrique n'est pas forcément de degré 2.

Posté par
breuil
re : algèbre-anneaux 11-05-21 à 20:54

Merci!



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