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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Algèbre bilinéaire

Posté par
LeMacaron
12-07-19 à 13:19

Bonjour, je suis coincé à la question 3.b) de l'exercice suivant :


Pour toute matrice M\in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}), on note \mathcal{R}_M le sous-ensemble de \mathbf{R} défini par :

 \mathcal{R}_M=\{ {}^t XMX\ ;\ X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{R}),\ \| X\|=1 \},

 \| \cdot\| désigne la norme euclidienne usuelle. Pour toute matrice A\in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}), on note a_{i,j} ses coefficient de telle manière que A=(a_{i,j})_{1\le i,j\le n}.

1. Soit \lambda\in \mathbf{R} une valeur propre de M. Montrer que \lambda \in \mathcal{R}_M.
Indication : Considérer un vecteur propre.

2. Montrer que si Q\in \mathcal{O}_n(\mathbf{R}), on a \mathcal{R}_M=\mathcal{R}_{{}^t QMQ}.

3. On suppose dans cette question que M\in \mathcal{M}_2(\mathbf{R}).
a) On suppose que M est diagonale, de coefficient diagonaux \lambda_1,\lambda_2 avec \lambda_1\le \lambda_2. Montrer que \mathcal{R}_M=[\lambda_1,\lambda_2].
b) On suppose maintenant que M est symétrique. Montrer que \mathcal{R}_M=[\lambda_1,\lambda_2] pour des réels \lambda_1,\lambda_2 que l'on identifiera.


Voici mes réponses pour les premières questions.


1. Soit \lambda\in \mathbf{R} une valeur propre de M. Par définition, il existe une matrice colonne non nulle X telle que l'on ait MX=\lambda X. En multipliant membre à membre par la transposée {} ^t X de X, on a {} ^t XMX={}^t X (\lambda X)= \lambda ( {}^t XX) =\lambda \| X \|^2. Quitte à considérer la matrice colonne normalisée Y=X/ \| X \| de X, on peut supposer \| X \|=1. Ainsi pour toute valeur propre \lambda de M on peut trouver un vecteur propre X de norme 1 tel que l'on ait \lambda = {}^t XMX, donc \lambda \in \mathcal{R}_M.

2. Soit Q une matrice orthogonale. Montrons que \mathcal{R}_{ {}^t QMQ } \subset \mathcal{R}_M. Soit X une matrice colonne telle que \|X\|=1. On a {}^t X ( {}^t Q MQ ) X= {}^t (QX) M(QX). Or \|QX\| = {}^t (QX) QX= {}^t X ( {}^t Q Q)X= {}^t X X=\| X\|^2 =1 donc on en déduit que {}^t X ( {}^t QMQ)X \in \mathcal{R}_M. Réciproquement, puisque Q( {}^t QMQ) {}^tQ=(Q {}^t Q )M(Q {}^t Q )=M on en déduit que \mathcal{R}_M=\mathcal{R}_{Q( {}^t QMQ ) {}^t Q } \subset \mathcal{R}_{ {}^t QMQ}. D'où \mathcal{R}_M=\mathcal{R}_{ { }^t QMQ}.

3.a) 3.a) On pose M=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2  \end{pmatrix} avec \lambda_1\le \lambda_2. Soit X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} avec x^2+y^2=1. Alors {}^t XMX=\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2. On a donc {}^t XMX=\alpha \lambda_1+\beta\lambda_2 avec \alpha + \beta =1 et \alpha,\beta\ge 0. Donc \mathcal{R}_M=[\lambda_1,\lambda_2 ].

3.b) Par analogie, j'ai seulement trouvé que pour M=\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}, on a {}^t XMX = ax^2+2bxy+ay^2=a+b \sin(2\theta), en posant x=\cos(\theta) et y=\sin(\theta) donc \mathcal{R}_M= [a-b,a+b].


Merci d'avance.

Posté par
etniopal
re : Algèbre bilinéaire 12-07-19 à 14:10

Dans 3a tu   montres  simplement que   RM est contenu dans  J := [ 1  , 2] .
L'inclusion inverse est facile à montrer .

" Poser  .." n'est  que de l'écriture .Ce n'est pas une opération mathématique .
Par contre il est vrai que
{ ax² + 2bxy + ay²  ? x² + y² = 1 }  =  {acos²(t) + 2bsin(t)cos(t) + a sin²(t) ? t   } = { a + bsin(s) ? s } =...

Posté par
Jezebeth
re : Algèbre bilinéaire 12-07-19 à 15:12

Bonjour

Pour 3b, diagonalisez dans une base orthonormée et utilisez les questions précédentes.

Posté par
luzak
re : Algèbre bilinéaire 12-07-19 à 15:19

Bonjour !
Dans un tel chapitre tu devrais savoir (*) que les matrices réelles symétriques trigonalisent dans une base orthonormée donc qu'il existe une matrice orthogonale Q telle que Q^TMQ=D diagonale.
Et tu appliques les résultats 2. et 3.a.

(*) :
Si tu ne connais pas ce résultat il est facile de le prouver en dimension2 : résolution d'une équation de degré 2 (valeurs propres) et vérification qu'on peut choisir une base orthonormée de vecteurs propres.

Indication pour la base orthonormée après avoir montré qu'il y a deux valeurs propres distinctes \lambda,\mu.
Si MX=\lambda X,\;MY=\mu Y tu as X^TMY=\mu X^TY,\;Y^TMX=\lambda Y^TX.
Comme X^TMY=Y^TMX et X^TY=Y^TX tu trouves X^TY=0 : les vecteurs propres sont orthogonaux et il te reste à les normaliser.

Posté par
LeMacaron
re : Algèbre bilinéaire 12-07-19 à 17:12

Ok, donc si M est symétrique on peut trouver une matrice orthogonale Q telle que {}^t Q M Q = D, où D est la matrice diagonale formée des valeurs propres de M. Dans ce cas, on a \mathcal{R}_{ M } = \mathcal{R}_{ {}^t Q M Q } = \mathcal{R}_{D}= [\lambda_1,\lambda_2], si \lambda_1 \le \lambda_2.

Merci à vous

Posté par
LeMacaron
re : Algèbre bilinéaire 12-07-19 à 17:28

Je bloque aussi sur la question suivante :


3.c) On suppose dans cette question que \lambda_2 = 1 . Dessiner la conique C_{\lambda_1} =\{ X\in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbf{R})\ ;\ {}^t X MX=1 \} pour \lambda = {-1}, 0, 1/2 et 1.


{}^t X MX est de la forme \lambda_1x^2+2mxy +y^2, avec m un réel quelconque... Une autre idée ?

Posté par
LeMacaron
re : Algèbre bilinéaire 12-07-19 à 17:33

Selon moi :

C_{-1} ressemble à la conique y^2-x^2=1,
C_0 ressemble à la conique y^2-xy=1.

Posté par
coa347
re : Algèbre bilinéaire 12-07-19 à 22:03

etniopal @ 12-07-2019 à 14:10

" Poser  .." n'est  que de l'écriture .Ce n'est pas une opération mathématique .

Bonsoir,

Mais où as-tu été chercher ethniopal que "poser" n'est pas une une opération mathématique ? On trouve cette expression dans tous les bouquins de maths.

Pour moi, "on pose M=...", "on note M :=", "on définit M par M =...", etc..., toutes ces expressions veulent dire la même chose : c'est une définition.
De plus, de la même façon qu'il n'y a pas de notation mathématique universelle, il n'y a pas un langage mathématique universel.
Pour finir, on ne peut pas comparer cela à une "opération" au sens où on l'entend habituellement, qui celle-ci s'apparente davantage à une application (comme peuvent l'être l'addition, la soustraction, la division et la multiplication).

Posté par
luzak
re : Algèbre bilinéaire 12-07-19 à 23:17

Puisque tu sais que M est congruente-semblable à \mathrm{diag}(\lambda,1) il est plus simple de se placer tout de suite dans ce nouveau repère.

La conique C_{\lambda} a donc pour équation \lambda x^2+y^2=1 !

Posté par
etniopal
re : Algèbre bilinéaire 13-07-19 à 07:46

  La question 2b peut se faire comme LeMacaron avait commencé .
Mais RM  n'est   [a - b , a + b]  que si b  est     0. Sinon c'est  [a + b , a - b]  .

Posté par
LeMacaron
re : Algèbre bilinéaire 13-07-19 à 18:15

luzak @ 12-07-2019 à 23:17

Puisque tu sais que M est congruente-semblable à \mathrm{diag}(\lambda,1) il est plus simple de se placer tout de suite dans ce nouveau repère.

La conique C_{\lambda} a donc pour équation \lambda x^2+y^2=1 !

De quel repère parlez-vous ? Dans ce repère, la conique a une équation "simple", mais si l'on me demande de la dessiner, dois-je le faire dans le nouveau repère ou dans le changement que vous considérez ?

Cordialement,

Posté par
jarod128
re : Algèbre bilinéaire 14-07-19 à 00:48

Bonjour,
Forcément dans le nouveau repère puisque c'est dans celui ci que équation est simple

Posté par
luzak
re : Algèbre bilinéaire 14-07-19 à 09:31

Citation :

{}^t X MX est de la forme \lambda_1x^2+2mxy +y^2, avec m un réel quelconque... Une autre idée ?

Je ne vois pas d'où tu sors ce résultat ?
Ta matrice serait alors \begin{pmatrix} \lambda &m \\ m & 1 \end{pmatrix} les valeurs propres ne sont pas \lambda,1 sauf si m=0 ce qui est très particulier.
....................................
Je n'avais pas vu le "Dessinez" de ton  énoncé : mes indications, à part dire le genre de la conique ne servent à rien.

Peut-être opérer ainsi : M=\begin{pmatrix} a &b \\ b & c \end{pmatrix} et ut dois avoir
a+c=\lambda+1,\;ac-b^2=\lambda.

Pour chaque valeur de \lambda imposée tu peux essayer de trouver les coefficients a,b,c qui conviennent. Si tu en as une solution (a,b,c) pour tout réel t non nul, (ta,tb,tc) est aussi une solution.

Exemple : \lambda=-1.
Alors a+c=0,\;ac-b^2=-1 d'où a^2+b^2=1.
En choisissant a=\cos\theta,\,b=\sin\theta ta conique aurait pour équation
x^2\cos\theta+2xy\sin\theta-y^2\cos\theta=1.
C'est une hyperbole équilatère centrée à l'origine dont les asymptotes ont pour équation y=x\tan\frac{\theta}2,\;y\tan\frac{\theta}2+x=0

etc...
Pour \lambda=1 tu trouves un cercle ou un ensemble vide.
Pour \lambda=\dfrac12 une ellipse ou un ensemble vide.
Pour \lambda=0 tu as une parabole dégénérée
               soit réunion de deux droites distinctes parallèles
               soit l'ensemble vide
              car la forme quadratique ax^2+2bxy+cy^2 est le carré de x\sqrt a+y\sqrt c ou le carré de x\sqrt{-a}+y\sqrt{-c}.

Posté par
luzak
re : Algèbre bilinéaire 14-07-19 à 09:58

Supprimer cette remarque :

Citation :
Si tu en as une solution (a,b,c) pour tout réel t non nul, (ta,tb,tc) est aussi une solution.

ainsi que les mentions d'ensemble vide possible pour \lambda\in\{1,\frac12\}.

Posté par
coa347
re : Algèbre bilinéaire 14-07-19 à 11:17

Bonjour,
On suppose que dans la question 3)c), la matrice M est symétrique, sinon on ne voit pas d'où sortent les  \lambda_1,  \lambda_2.

On peut faire peut-être plus simple :
En dimension 2, on connait la forme générale d'une matrice orthogonale :  Q=\begin{pmatrix} \cos (\theta)  &\epsilon \sin (\theta) \\ \sin (\theta)  &-\epsilon \cos (\theta)   \end{pmatrix}, avec \epsilon = \pm1
On applique le changement de variable X'=QX à l'équation \lambda x'^2+y'^2=1
(car tXMX=1 ssi tXtQDQX=t(QX)D(QX)=1 ssi tX'DX'=1)
Puis on décline selon la valeur de \lambda.

Posté par
luzak
re : Algèbre bilinéaire 14-07-19 à 14:42

Déjà dit dans le message du 12-07-19, 23:17 !

Ce qui gêne LeMacaron c'est le problème "Dessinez !".
Tout simplement, on dessine dans le nouveau repère PUIS on fait une rotation (ou symétrie) pour faire le dessin dans le repère original.
En effet, si \vec{I},\vec{J} est une base de vecteurs propres le passsage de ce repère au repère original est une rotation ou une symétrie laissant l'origine invariante.

Ce qu'il faut bien montrer c'est que si M est une solution (i.e. une matrice symétrique avec les valeurs propres 1,\lambda toute matrice Q^TMQ est solution (Q matrice  orthogonale).

Posté par
coa347
re : Algèbre bilinéaire 14-07-19 à 17:34

En effet. Il faut "Dessiner" dans le nouveau repère. Quant à dessiner dans le nouveau repère, je ne vois pas comment c'est possible concrètement étant donné qu'on n'a pas la matrice Q de passage.

Posté par
coa347
re : Algèbre bilinéaire 14-07-19 à 17:34

Je voulais dire "quant à dessiner dans l'ancien repère..."

Posté par
luzak
re : Algèbre bilinéaire 14-07-19 à 18:07

Il y a une infinité de matrices M symétriques de valeurs propres 1,\lambda.
La question "Dessinez" est donc sans réponse possible !
Il suffit de faire un repère arbitraire (même origine), dessiner la conique dans ce repère et tracer son image par isométrie dans le repère original.

Posté par
LeMacaron
re : Algèbre bilinéaire 16-07-19 à 13:22

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