Bonjour, je suis coincé à la question 3.b) de l'exercice suivant :
Pour toute matrice , on note le sous-ensemble de défini par :
,
où désigne la norme euclidienne usuelle. Pour toute matrice , on note ses coefficient de telle manière que .
1. Soit une valeur propre de . Montrer que .
Indication : Considérer un vecteur propre.
2. Montrer que si , on a .
3. On suppose dans cette question que .
a) On suppose que est diagonale, de coefficient diagonaux avec . Montrer que .
b) On suppose maintenant que est symétrique. Montrer que pour des réels que l'on identifiera.
Voici mes réponses pour les premières questions.
1. Soit une valeur propre de . Par définition, il existe une matrice colonne non nulle telle que l'on ait . En multipliant membre à membre par la transposée de , on a . Quitte à considérer la matrice colonne normalisée de , on peut supposer . Ainsi pour toute valeur propre de on peut trouver un vecteur propre de norme tel que l'on ait , donc .
2. Soit une matrice orthogonale. Montrons que . Soit une matrice colonne telle que . On a . Or donc on en déduit que . Réciproquement, puisque on en déduit que . D'où .
3.a) 3.a) On pose avec . Soit avec . Alors . On a donc avec et . Donc .
3.b) Par analogie, j'ai seulement trouvé que pour , on a , en posant et donc .
Merci d'avance.
Dans 3a tu montres simplement que RM est contenu dans J := [ 1 , 2] .
L'inclusion inverse est facile à montrer .
" Poser .." n'est que de l'écriture .Ce n'est pas une opération mathématique .
Par contre il est vrai que
{ ax² + 2bxy + ay² ? x² + y² = 1 } = {acos²(t) + 2bsin(t)cos(t) + a sin²(t) ? t } = { a + bsin(s) ? s } =...
Bonjour !
Dans un tel chapitre tu devrais savoir (*) que les matrices réelles symétriques trigonalisent dans une base orthonormée donc qu'il existe une matrice orthogonale telle que diagonale.
Et tu appliques les résultats 2. et 3.a.
(*) :
Si tu ne connais pas ce résultat il est facile de le prouver en dimension2 : résolution d'une équation de degré 2 (valeurs propres) et vérification qu'on peut choisir une base orthonormée de vecteurs propres.
Indication pour la base orthonormée après avoir montré qu'il y a deux valeurs propres distinctes .
Si tu as .
Comme et tu trouves : les vecteurs propres sont orthogonaux et il te reste à les normaliser.
Ok, donc si est symétrique on peut trouver une matrice orthogonale telle que , où est la matrice diagonale formée des valeurs propres de . Dans ce cas, on a , si .
Merci à vous
Je bloque aussi sur la question suivante :
3.c) On suppose dans cette question que . Dessiner la conique pour , , et .
est de la forme , avec un réel quelconque... Une autre idée ?
Puisque tu sais que est congruente-semblable à il est plus simple de se placer tout de suite dans ce nouveau repère.
La conique a donc pour équation !
La question 2b peut se faire comme LeMacaron avait commencé .
Mais RM n'est [a - b , a + b] que si b est 0. Sinon c'est [a + b , a - b] .
Supprimer cette remarque :
Bonjour,
On suppose que dans la question 3)c), la matrice est symétrique, sinon on ne voit pas d'où sortent les , .
On peut faire peut-être plus simple :
En dimension 2, on connait la forme générale d'une matrice orthogonale : , avec
On applique le changement de variable à l'équation
(car tXMX=1 ssi tXtQDQX=t(QX)D(QX)=1 ssi tX'DX'=1)
Puis on décline selon la valeur de .
Déjà dit dans le message du 12-07-19, 23:17 !
Ce qui gêne LeMacaron c'est le problème "Dessinez !".
Tout simplement, on dessine dans le nouveau repère PUIS on fait une rotation (ou symétrie) pour faire le dessin dans le repère original.
En effet, si est une base de vecteurs propres le passsage de ce repère au repère original est une rotation ou une symétrie laissant l'origine invariante.
Ce qu'il faut bien montrer c'est que si est une solution (i.e. une matrice symétrique avec les valeurs propres toute matrice est solution ( matrice orthogonale).
En effet. Il faut "Dessiner" dans le nouveau repère. Quant à dessiner dans le nouveau repère, je ne vois pas comment c'est possible concrètement étant donné qu'on n'a pas la matrice Q de passage.
Il y a une infinité de matrices symétriques de valeurs propres .
La question "Dessinez" est donc sans réponse possible !
Il suffit de faire un repère arbitraire (même origine), dessiner la conique dans ce repère et tracer son image par isométrie dans le repère original.
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