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algèbre de sup (matrices)
Bonjour a tous je suis nouvo sur le site et je me permets de vs demander votre aide sur ce problème delicat.
Dans cet exercice on note ! la matrice unité de M2(
on note également:
I=(i 0) J=(0-1) et K=(0 -i) I,J,K sont des matrices
(0-i) (1 0) (-i 0)
On appelle H le sev réel engendré par !,I,J,K dans M2( c-a-d l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients réels sur ces quatres matrices
Les éléments de H s'appellent des quaternions.
Pour tout Q= 
!+
I+
J+
K avec 
on pose Q*=!-I-J-K on dit que Q* est le quaternion conjugué de Q.
On pose N(Q)=QQ* on dit qe N(Q) est la norme de Q.
1)montrer que H est un rev de dimension 4
2)montrer que I2=J2=K2=-!, IJ=-JI=K, JK=-KJ=I, KI=-IK=J H est un Rev de dimension 4
3)Monter que Q*= tQbarre(Qbarre la matrice dont les entrees sont les complexes conjugués de celle de Q)
4)Montrer que l'application Q
Q* est un automorphisme de l'espace vectoriel H
5)Montrer que N(Q) = (2222)!. En déduire que tout élément non nul de H admet in inverse. (on dit que H est un corps, on l'appelle corps des quaternions
6)Montrer que N(QQ') = N(Q)N(Q').
il me reste qq questions a vs faire parvenir
merci d'avance
Salut !!
As tu cherche et sur quoi coinces tu ? Pour la plupart des questions il suffit d'eesayer de montrer ce qu'ils demandent en attaquent d'un cote...
1) on te dit deja que H est un ss ev. De dimension 4 : il te suffit de montrer que Id, I , J et K forme une famille libre...(ce qui est assez clair)
2) calcule les produites de matrice et tu trouves le resultat...
3) pareil, exprime Q* ss forme d ematrice et calcule tran(Q barre)
4) montrer que cette application est lineaire...
5) Il te suufit de la calculeren mettant Q sous forme de matrice...
6) De la meme facon calcule separement N(QQ') et N(Q)N(Q') et tu devrais trouver qu ec'ets egal...
Bref, c'est pas complique il suffit de commencer par essayer. Si t'as un pb de comprehension repose des questions precises
bonjour
tout d'abord merci pour ces reponses
alors les questions 1-2-4-5 j'ai reussi. Mais pour la 3. je ne vois pas ce ke tu veus dire, et pour la 6 je n'y arrive pas ^^ ( je pense que je n'y arrive a cause de ! qui n'est pas defini.)
Sinon voici 2 nouvelles q° :
7.Soit R={QH tq Q*=Q} et P={Q H tq Q* = -Q} Montrer que H= somme directe de R et P. Donner une base de R et P. (On dit que P est l'ensemble des quaternions purs et on identifie R aux reels.)
8.Soit X H. Montrer que X²=-! ssi N(X)=! et X P. En déduire qu'il existe dans H une infinité de solutions à l'équation X²+! = 0, et que l'ensemble de ces solutions s'identifie à une sphère.
merci d'avance 
++
Salut !
Pour la 3) ecrit Q sou sla forme d'une seule matrice, Q barre sera la meme matrice avec ts les coefficenets conjugues de Q, et tu transposes ensuite tu vas facilement verifier que cette matrice sera egale a Q*
Pour la 6)
N(QQ') = (QQ')* Donc il faut que tu calcules le produit QQ' et que tu determines (QQ')*
N(Q)N(Q')=Q* . Q'* et calcule le produit, tu dois verifier assez facilement l'egalite.
Pour la 7) il faut montrer que l'intersection des deux ensembles est vide et que toute matrice de l'espace vectoriel peut s'écrire a l'aide d'une matrice de R et d'une matrice de P (en general on s'aide de 1/2...)
Pour la 8) Je metrais X sous forme de matrice et on obtient 4 equations, l'autre sens doit etre plus simple. Pour le en deduire, je ne sais pas trop, j'ai pas bien le temps de chercher.
La tu dois deja avoir pas mal d'elements pour continuer !
merci bocou c'est vraiment sympa de m'aider ^^
Mais est ce que tu pourrais m'eclairicir un peu plus que la q° 8 pke je ne comprends vraiment pas.
Merci encore et à bientot
SAlut !
Il faut écrire X comme matrice de H, cad X est une combinaisaon linéaire des matrices de base de H. Tu calcules X² et il faut que X² = -! Donc tu as 4 equations a utiliser car tu dois montrer que N(X) = ! et la question 5) te donne une indication sur N(X)...
c'ets peut etre un raisonnement pas equivalence.
En t'aidaint du du debut d ela question, les equations obtenues ont une infinité de solutions dc il y a une infinite de X de H telles que X²+! = 0 et pour la sphere je n'en sais rien
merci encore d'avoir cherché
et merci bocou pour ton aide ^__^
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