Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Algèbre, espaces vectoriels, projecteurs
Bonjour,
Je rencontre quelques difficultés avec une question d'un exercice et j'espérais que quelqu'un puisse me donner des indications
Soit E un K-espace vectoriel
Montrer que si f et g sont des endomorphismes de E et f est un projecteur de E alors
f o g = g o f 
Ker(f) et Im(f) stables par g
J'ai réussi le sens direct mais je ne sais franchement pas comment commencer pour la réciproque, si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste ce serait super, merci !
Bonne journée à tous
Bonjour. N'oublie pas que f est un porjecteur de E, donc ça veut dire que Im(f) et Ker(f) sont en somme directe. Donc ça veut dire que pour connaitre totalement un endomorphisme sur E, il suffit de le connaitre sur Im(f) et sur Ker(f).
Soit y appartenant à Ker(f). On a f(y) = 0, donc g(f(y)) = g(0) = 0.
Et par ailleurs, g stabilise Ker(f) donc ...
Je te laisse faire la suite 
Merci pour la réponse ! J'ai essayé quelque chose mais je ne suis vraiment pas sûre donc dites moi si je dis n'importe quoi
Soit y dans Ker(f) donc f(y)=0 donc g(f(y))=g(0)=0
Or Ker(f) est stable par g donc 
y 
Ker(f), g(y) Ker(f) aussi donc f(g(y))=0
On a donc f(g(y)) = g(f(y))
Soit x Im(f) alors 
y E tel que f(y) = x
or Im(f) est stable par g donc x Im(f), z E tel que f(z) = g(x) donc g(f(y)) = f(z) donc on a g(f(y)) Im(f)
je repars de f(y) = x pour dire que g(f(y)) = g(x) et f(g(f(y))) = f(g(x)) (à partir de là j'ai un gros doute sur ce que je fais)
or on vient de dire que g(f(y)) Im(f) donc f(g(f(y))) = g(f(y))
On a donc (à partir de l'expression en gras) f(g(x)) = g(f(y))
Or f est un projecteur donc f o f = f donc à partir de f(y) = x on peut dire que f(x) = f(f(y)) = f(y) et donc que g(f(x)) = g(f(y))
On a donc g(f(x)) = f(g(x))
Ca doit pas être très clair, je suis désolée
Bonjour,
Oui, c'est passablement embrouillé.
Puisque est un projecteur, tout élément
se décompose de manière unique en
avec
et
, et
.
On a alors . Je te laisse calculer
, sous l'hypothèse que
et
sont stables par
.
Evite les ∀ et les ∃ au milieu d'une phrase. En l'occurence, y est déjà fixé, et le y de ton ∀ y est une variable muette, contrairement à celle qui est déjà fixée. Il y a aussi des "donc" parasites.
Si je reprends ton premier paragraphe et que je le corrige pour que ce soit correct
Soit y∈ Ker(f). f(y)=0 donc g(f(y))=g(0)=0 (parce que g est une application linéaire).
Aussi, Ker(f) est stable par g, donc g(y) ∈ Ker(f), et donc f(g(y))=0 = g(f(y)).
On a montré que fg-gf est nulle sur Ker(f).
Pour le deuxième paragraphe, c'est assez confus. Tu peux faire comme t'indique GBZM, ou bien si tu es plus à l'aise
Soit y ∈ Im(f). Comme f est un projecteur sur Im(f), on a y = f(y), et donc g(y) = g(f(y)) (1).
Par ailleurs g stabilise Im(f), donc le même raisonnement conduit à g(y) = f(g(y)) (2).
(1) et (2) ensemble nous disent que fg-gf s'annule sur Im(f).
Enfin, tu peux tout traiter d'un coup avec ce que t'indique GBZM. C'est un spoiler alors ne regarde pas avant de l'avoir fait toi-même !
J
e le mets parce que je ne serai plus là aujourd'hui et que je ne sais pas si GBZM va revenir avant moi
Soit x ∈ E = Ker(f) ⊕ Im(f). La somme étant directe, il existe une unique décomposition de x = k + i avec k ∈ Ker(f) et i ∈ Im(f). Le i en question s'écrit sous la forme i = f(u) avec u ∈ E.
En fait, on peut prendre u = x parce que f(x) = f(k) + f(i) = 0 + f(f(u)) = 0 + f(u) = i.
Cette décomposition dit que g(f(x)) = g(i) et f(g(x)) = f(g(k)) + f(g(i)).
Comme g stabilise Ker(f) et Im(f), g(k) ∈ Ker(f) et il existe r ∈ E tel que g(i) = f(r).
On a alors g(f(x)) = g(i) = f(r) et f(g(x)) = 0 + f(f(r)) = f(r) = g(f(x))
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac