Bonjour !
Je rencontre des difficultés avec un exercice de colle d'avant les vacances et je me demandais si quelqu'un pouvait m'aider à y voir plus clair.

Soit G un groupe fini tel qu'il existe A une partie de G telle que Card(A)>Card(G)/2

Le but de l'exercice est de montrer que tout élément de G est le produit de deux éléments de A. Pour cela, le prof avait ajouté des questions intermédiaires :
Soit xG, montrer que Card(xA^-1) = Card(A) (j'ai réussi en montrant qu'une certaine application était bijective)

Montrer que xA^-1 A
Je me souviens que le prof avait dit de le faire par l'absurde, donc j'ai supposé que xA^-1 A =
On a Card( xA^-1 A ) = Card(A) + Card(xA^-1) - Card(xA^-1 A) donc Card( xA^-1 A ) = 2 Card(A)
Avec l'informartion donnée dans l'énoncé, on peut donc dire que Card( xA^-1 A ) > Card(G) et c'est la que je bloque. Je suis sûre que c'est tout bête et j'ai un peu honte de demander mais je ne vois pas l'absurdité.

Et aussi pour montrer que tout élément de G est le produit de deux éléments de A, je m'embrouille un peu dans la rédaction.
Soit b G
Il existe donc un a₁ tel que b.a₁^-1 xA^-1
Or xA^-1 A   donc il existe un a₂ xA^-1 A
Mais dire que b.a₁^-1 = a₂ c'est aller un peu trop vite en besogne non ?

Désolé, j'ai du mal avec ce chapitre en algèbre mais merci beaucoup d'avance à ceux qui m'aideront !
Bonne journée