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algèbre: limite d une matrice
bonjour à tous!
comme revoilà le soleil, les dm pleuvent! (sigh)
je bloque sur un point particulier: le calcul de la limite d'une matrice.
on me dit "une suite de matrices réelles (Bk), carrées d'ordre n converge vers la matrice B=(bij)
Mn(R) lorsque pour tout (i,j)N²n, la suite bij(k) tend vers bij en convenant que Bk=(bij(k))."
et on me demande de montrer que la limite de Q^n lorsque n tend vers plus l'infini est égale à 0.
avec Q matrice carrée 2x2:
Q=(1/3 1/2)
(1/2 1/3)
j'ai essayé de démontrer par récurrence que à partir de n=2, on a Q^2>Q^3>...>Q^(n-1)>Q^n et donc que Q^n, logiquement, tendait bien vers 0. mais cette démarche est très complexe avec des valeurs qui n'ont pas de lien (je n'ai trouvé aucune suite ou relation les reliant, à part la multiplication de quotient de plus en plus petit, ce qui ne m'avance pas beaucoup) et trop de variables à indices ce qui ne m'aide pas à simplifier tout ça! 
j'ai besoin d'un petit coup de pouce (un gros en fait) merci d'avance!
Bonjour maude
Je pense qu'en essayant Q²,Q^3,.., tu peux essayer de trouver une relation de récurrence qui te donne l'expression de B^n et peut être d'en tirer la limite 
Joelz
Bonjour maude
Tu peux calculer explicitement la puissance nième de la matrice en utilisant le binôme.
Pour cela, il suffit de remarquer que avec
Kaiser
Bonjour,
je ne comprend pas ce que tu essaies de faire:
Q est une matrice, donc on a certainement pas de relation d'ordre (évidente) qui relie les puissances de Q.
Si c'était le cas, ca ne prouverait pas que la suite converge, et encore moins que la limite est 0.
En effet,
f(n)=1+1/n
f(1)>f(2)>f(3)>...>f(n)>1 et donc la limite n'est certainement pas 0.
D'ailleurs les démonstrations qui utilisent l'argument : `logiquement on a ceci`, sont probablement farfelues.
Une bonne méthode serait celle de Kaiser, ou encore une méthode utilisant un argument de norme ou de déterminant. Par exemple ici, on doit pouvoir facilement trouver la norme de Q^n et montrer que cette norme tend vers 0.
Le désavantage est que ce n'est pas la méthode la plus simple, qui reste être celle de Kaiser.
A+
merci Kaiser et les autres, je vais essayer avec ça!
Bonjour;
Oui otto,une norme sur ferait l'affaire à condition qu'elle soit multiplicative c'est à dire vérifiant en plus des critéres d'une norme que
comme c'est le cas par exemple pour la norme
.
Ici on a et ainsi on a
ce qui prouve que
et donc que
Salut elhor_abdelali.
Evidemment il était question de norme d'algèbre, sinon ca n'apportait rien.
Amicalement,
otto
Bonjour
Une autre idée est de trouver une matrice semblable à Q, donc représentant le même endomorphisme.
Q etant symétrique réelle, elle est diagonalisable.
Le calcul des valeurs propres donne k = 5/6 et k' = -1/6
Donc Q = P D P^-1 où P est la matrice de passage dans la base de diagonalisation et D la matrice diagonale [5/6 0]
[0 -1/6]
Donc Q^n = P D^n P^-1
Comme D^n a pour coefficients, o, o, (5/6)^n et (-1/2)^n
ses coefficients tendent vers zéro et donc elle tend vers la matrice nulle.
Jeanseb
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