Niveau Maths sup

algebre lineaire

Posté par B93 (invité) 31-03-05 à 20:18

Bonjour
f et g sont 2 endomorphismes de L(E) (dim E=n)
On suppose que f+g est inversible et f°g=0
Montrer que rg(f)+rg(g)=n
Une inégalité est claire mais l'autre...
merci

Posté par re : algebre lineaire 31-03-05 à 20:30

$f\circ g=0\;\Longleftrightarrow\;{\mathcal I}m(g)\subset {\mathcal k}er(f)$

donc
$\dim{\mathcal I}m(g)\le \dim {\mathcal k}er(f)$
$rg(g)\le n-rg(f)$
$rg(g)+rg(f)\le n$        $\red (1)$

$f+ g={\rm inversible}\,\Longleftrightarrow\;{\mathcal I}m(f+g)=E$
Or $\dim{\mathcal I}m(f+g)=\dim{\mathcal I}m(f)+\dim{\mathcal I}m(g)-\dim${\mathcal I}m(f)\cap{\mathcal I}m(g)$$
Donc
$n=\dim{\mathcal I}m(f+g)=rg(f)+rg(g)-\dim${\mathcal I}m(f)\cap{\mathcal I}m(g)$\le rg(f)+rg(g)$        $\red (2)$

En combinant   $\red (1)$ et   $\red (2)$                      $\red rg(g)+rg(f)= n$

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

algebre lineaire

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths