Qui est E ? Qui est u ? Qui est v ?

E est un espace vectoriel de dimension finie, u et v des endomorphismes de E

bonsoir

dimE=n
d'abord Kerv C Ker(uov)

notons p=Kerv et q=Ker(uov) alors pq

il existe (a_1,...,a_p) base de Ker v (tt ev de dim finie admet au moins une base)
il existe (a_1,...,a_p,....,a_q) base de ker(uov) ( car Kerv C Ker(uov) donc Vect(a_1,...,a_p)CKer(uov)
la famille est libre à l'aide du theoreme de la base incomplete il existe elements de Ker(uov) tels que base de ker(uov))
et ((v(a_{p+1}),.....,v(a_q)) est une famille libre de Ker u( car elements de Ker(uov) donc u(v(a_{p+1})=0 donc v(a_{p+1}) element de keru
de plus est libre sinon ne serait pas base de ker(uov))

Supposons il existe réels tels que

alors
(car v linéaire)

donc
N_{p+1}a_{p+1}+...+N_qa_q Kerv
or (a_1,...,a_p) base de Ker v
donc s'ecrit de maniere unique comme CL des  
or base de ker(uov)) donc libre
ainsi l'ecriture de

comme cette famille est libre alors :


conclusion : est une famille libre de Ker u


Nous obtenons donc
dim dim Keru
q-(p+1)+1dim Keru
q-pdim Keru
q-pn-rgu
q-(n-rgv)n-rgu
q-n+rgvn-rgu
rgv+rgu-nn-q

rgv+rgu-nrg(uov)  (car dim ker(uov)=q)

voilà sauf erreur

il est clair que Im(uov)C Imu  donc rg(uov)rg u

et avec les notations precedentes :
dimE=n
Kerv C Ker(uov)
notons p=Kerv et q=Ker(uov) alors p q
alors -q -p
n-q n-p
donc
rg(uov)rg v


CONCLUSION : rg(uov)min(rg u,rg v)

sauf erreur