Bonjour à tous,
j'aurais besoin d'aide pour la dernière question d'un exo.
G=B*D*C
B est la base canonique de
g est l'endomorphisme de canoniquement associé à G.
On note B' = base de définie par u1 = (2,3,2), u2=(1,2,1) et u3=(1,0,0).
1) a) Calculer CB et BC.
On remarque que CB=BC donc .
b) Calculer G de g par rapport à B.
On trouve
c) Quelles sont les valeurs propres de g et les vecteurs propres associés ?
Quelle est la matrice de g par rapport à B' ?
Les valeurs propres sont 0, 1 et 4 et les vecteurs propres sont les vecteurs de la base B'.
La matrice de g par rapport à B' est D.
On pose H²=D, où
2) Trouver les .
3) On pose M²=G.
est l'endomorphisme de qui est canoniquement associé à M, solution quelconque de l'équation ci-dessus.
a) Que peut-on dire de ?
car MG=GM.
b) Exprimer puis en fonction de .
On remarque que est vecteur propre de g et
On peut faire de même pour u1 et u2.
On arrive à la question où je bloque.
c) Les vecteurs propres de g sont ceux de .
Quel est l'aspect de la matrice de relativement à B' ? Pourquoi son carré est D ?
J'aurais dit que . Mais pour prouver que cette matrice au carré vaut D, je ne sais pas.
Je suis allé vite sur certaines questions. Dites moi si vous voulez que je développe certains points.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour pierre64200.
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