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Niveau Licence Maths 1e ann
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Algèbre linéaire

Posté par
pierre64200
01-01-18 à 17:02

Bonjour à tous,

j'aurais besoin d'aide pour la dernière question d'un exo.

B=\begin{bmatrix} 2 &1 &1 \\ 3&2 &0 \\ 2& 1& 0 \end{bmatrix}\\ C=\begin{bmatrix} 0 &-1 &2 \\ 0& 2& -3\\ 1&0 &-1 \end{bmatrix}\\ D=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 4 \end{bmatrix}

G=B*D*C

B est la base canonique de \R^3
g est l'endomorphisme de \R^3 canoniquement associé à G.
On note B' = (u_i)_{i=1,2,3} base de \R^3 définie par u1 = (2,3,2), u2=(1,2,1) et u3=(1,0,0).

1) a) Calculer CB et BC.

On remarque que CB=BC donc B=C^{-1}.

b) Calculer G de g par rapport à B.

On trouve M_B(g)=\begin{bmatrix} 4 &2 &-7 \\ 0& 4& -6\\ 0&2 &-3 \end{bmatrix}

c) Quelles sont les valeurs propres de g et les vecteurs propres associés ?
Quelle est la matrice de g par rapport à B' ?

Les valeurs propres sont 0, 1 et 4 et les vecteurs propres sont les vecteurs de la base B'.
La matrice de g par rapport à B' est D.


On pose H²=D, où H=\begin{bmatrix} \alpha &0&0 \\ 0& \beta& 0\\ 0&0 &\gamma \end{bmatrix}

2) Trouver les \alpha, \beta \ et\ \gamma.

\alpha = 0\\ \beta = \pm 1 \\ \gamma = \pm 2


3) On pose M²=G.
\varphi est l'endomorphisme de \R^3 qui est canoniquement associé à M, solution quelconque de l'équation ci-dessus.

a) Que peut-on dire de \varphi o g\ et \ go\varphi ?

\varphi o g = go\varphi car MG=GM.

b) Exprimer \varphi (g(u_3)) puis g(\varphi(u_3)) en fonction de \varphi(u_3).

\varphi (g(u_3))=\varphi (4u_3)\ donc \ g(\varphi(u_3))=4\varphi(u_3)

On remarque que \varphi(u_3) est vecteur propre de g et \varphi(u_3)=\lambda_3u_3
On peut faire de même pour u1 et u2.


On arrive à la question où je bloque.

c) Les vecteurs propres de g sont ceux de \varphi.
Quel est l'aspect de la matrice de \varphi relativement à B' ? Pourquoi son carré est D ?

J'aurais dit que M_{B'}(\varphi)=\begin{bmatrix} \lambda1 & 0&0 \\ 0& \lambda2& 0\\ 0&0 & \lambda3 \end{bmatrix}. Mais pour prouver que cette matrice au carré vaut D, je ne sais pas.



Je suis allé vite sur certaines questions. Dites moi si vous voulez que je développe certains points.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
pierre64200
re : Algèbre linéaire 03-01-18 à 12:16

up

Posté par
jsvdb
re : Algèbre linéaire 03-01-18 à 12:55

Bonjour pierre64200.

Citation :
1) a) Calculer CB et BC.
On remarque que CB = BC donc B=C^{-1}.

Ah non ! Pour pouvoir écrire que B=C^{-1}, il faut vérifier que BC = I

Posté par
pierre64200
re : Algèbre linéaire 03-01-18 à 18:02

Bonjour,

oui bien sur.

C'est ce que j'ai trouvé, et c'est ce que je voulais dire.
Je ne sais pas pourquoi j'ai écrit CB=BC...

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