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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Algèbre linéaire

Posté par
TJF
11-10-18 à 15:15

Salut, je n'ai pas pu résoudre l'exercice suivant:

   Soit   P\in \mathbb{K}[X]  ,  u\in L(E)
1) Montrer que si   \lambda \in Spec(u)   , alors  P(\lambda )\in Spec(P(u))
2) On suppose  dim(E)=n  , fini.
     Comparer  \chi _{u}(x)  et  \chi _{P(u)}(x).
3) Soit   \delta : C^{\infty }(\mathbb{R} )\rightarrow C^{\infty }(\mathbb{R} )
                                    f \rightarrow \delta f:=f'
    Calculer  Spec(\delta )   et les sous-espaces propres.

Merci d'avance.

Posté par
Poncargues
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 15:17

La premiere question est triviale, il suffit de l'ecrire.
Pour le 2nde est ce que tu as regardé un exemple simple?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 15:19

Bonjour

Tu as surement pu commencer. Sinon, montre que si \lambda\in Spec(u) alors \lambda\in Spec(u^k)pour tout entier k> 0. Bien sur  u^n=u\circ u\cdots u composé k fois.

Posté par
Poncargues
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 15:21

Par exemple une matrice trigonalisable?

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 15:39

Salut Poncargues, nous n'avons pas encore vu les matrices trigonalisable.

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 15:40

Mon problème dans l'exercice se situe principalement au niveau de l'application a la question 3.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 15:42

Eh bien écris que \lambda est valeur propre s'il existe une fonction f non nulle telle que f'=\lambda f. Ceci devrait te rappeler des choses!

Posté par
Poncargues
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 15:43

Pour la question 3 le spectre est R tout entier, tu peux facilement trouver un vecteur propre pour chaque réel.

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 21:05

Salut Camélia, J'essaie de démontrer ton implication mais je me retrouve avec un \lambda^{k}.

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 21:34

Voici ce que j'ai essayé pour la question 1:
On sait que \lambda \in Spec(u)  alors u(x)=\lambda  x
Soit \alpha \in Spec(P(u)) alors  P(u)(x)=\alpha x
Ainsi,  
(\sum_{i}{a_{i}u^{i}})(x)=\alpha x
\Rightarrow \sum_{i}{a_{i}u^{i}(x)}=\alpha x
\Rightarrow \sum_{i}{a_{i}(u(x))^{i}}=\alpha x
\Rightarrow \sum_{i}{a_{i}(\lambda x)^{i}}=\alpha x  car \lambda \in Spec(u)
\Rightarrow \sum_{i}{a_{i}\lambda^{i}x^{i}}=\alpha x
 \\
Je me suis arrêté a ce niveau.

Posté par
lafol Moderateur
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 21:35

TJF @ 11-10-2018 à 21:34

Voici ce que j'ai essayé pour la question 1:
On sait que \lambda \in Spec(u) alors u(x)=\lambda  x


qui est x ?

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:03

x\in E

Posté par
lafol Moderateur
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:14

oui mais quel x ? n'importe lequel ? précise, un peu, sans quoi tu ne vas pas tarder à écrire des âneries ...

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:22

Là vraiment, je ne sais pas quoi dire!!

Posté par
lafol Moderateur
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:23

réfléchis à la définition d'une valeur propre ...

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:34

Dans la définition, \lambda est la valeur propre associé au vecteur propre x

Posté par
lafol Moderateur
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:35

et la définition ne dit rien de plus ?

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:46

Ah si!! Chaque vecteur   x   dans  E_{\lambda }(u)    non nul, avec   E_{\lambda }(u)=ker(u-\lambda id_{E})

Posté par
lafol Moderateur
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:51

conclusion, ton x, il était quelconque dans E, ou soigneusement choisi , et si choisi, où ?

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 22:54

x \in E_{\lambda}(u)

Posté par
lafol Moderateur
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 23:03

ok

maintenant, calcule pour ce x là P(u)(x)

Posté par
TJF
re : Algèbre linéaire 11-10-18 à 23:45

OK, je vois!! Je ne sais pas comment faire pour résoudre la question 2.



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