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Niveau Reprise d'études
Algèbre linéaire
Posté par sheigh
Bonjour à toutes et toutes,
Voici mon exercice dont j'aimerai une correction. Je vous remercie par avance.
Dans tout l'exercice, l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n(n>=2) à coefficients réels noté Mn(R), In la matrice identité de Mn(R), et J la matrice de Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
On note E={aIn+bJ,(a,b) R^2}
1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Mn(R) et donner sa dimension.
E est une combinaison linéaire de In et J, E est engendré par la famille (In,J) E Mn(R), donc E est bien un sous espace vectoriel de Mn(R).
Dimension de E = n*n
2)n=2
a)calculer J^2 et en déduite que pour tout couple de matrices de E, le produit MM' appartient à E.
J^2=2J
la notion de "en déduire" m'a assez perturbée, selon moi il faudrait partir de J voir J^2 et donc je me suis dit (M,M') avec M=J appartient E et M'=J appartient à E alors J*J=J^2=2*J donc appartient à E.
b)Donner une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que M=aI2+bJ soit inversible. Si M est inversible, montrer que M^-1 sont inverse appartient à E et donner M^-1.
M est inversible si seulement si det(M)0,
det(M)=(a+b)*(a+b)-b^2=a(a+2b)0
a
0 et b
-a/2.
M*M^-1 =I2 avec M appartenant à E et I2appartenant à E dont M-1 appartient à E.
M^-1 = ?
c)M=aI2+bJ, montrer pourtout p appartenant à N*, il existe 2 réels ap et bp tels que M^p= apI2+bpJ et les déterminer.
récurrence: p=0 ok si a0=1 et b0=0
M^(p+1)=M^p*M= apI2+bpJ*(apI2+bpJ)=ap^2I2+apbpJ+bpapJ+bp^2J^2 = ap^2I2+apbpJ+bpapJ+bp^2J = ap^2I2+(2apbp+2bp)J.
ap+1=ap^2
bp+1=2apbp+2bp^2
a0=1
b0=0
3)n=3
a) Comme en 2 calculer J^2= 3*J et en déduire que pour tout couple (M,M') de matrices de E, MM' appartient à E, voir 2.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que M=aI3+bJ soit inversible et lorsque c'est le cas donner M^-1.
det(M)=a^2+2a^2b+ba 0
a
0 et b
-a/(2a+1)
M^-1 ?
4) Dans cette question n 2 quelqconque.
a) Calculer J^2, J^2=nJ
b) On pose M=aIn+bJ, montrer que Ker(M)={0} si et si seulement si a 0 et a+nb
0.
Là je suis un peu perdue.
c) En déduire que M est inversible si seulement si a(a+nb)0 et donner dans ce cas M^-1 en fonction de In et J.
Idem
d) En utilisant la même méthode qu'en 2 avec M=aIn+bJ calculer M^p
Même résultat qu'en 2 sauf qu'on met In au lieu de I2!
Bonjour,
Pour 1) :
E n'est pas une combinaison linéaire, mais l'ensemble des combinaisons linéaires.
Avec une famille génératrice formée de 2 vecteurs, la dimension est inférieure ou égale à 2.
pour 2), tu écris M = aI2 + bJ et M' = cI2 + dJ car M et M' sont dans E .
Puis tu démontres que M
M' est dans E.
1) Es-tu sûre de la dimension de E?
2) a) Tu peux essayer de calculer
b) C'est plus simple si tu écris les choses comme ça : avec la relation tu peux chercher les coefficients c et d tels que (aI + bJ)(cI + dJ) = I
Pour la 3 c'est un peu la même !
Pour la 4b, tu peux écrire les équations en prenant avec
Bonjour,
Je vous remercie grandement pour ce premier tour d'horizon.
Je me replonge de suite avec vos corrections.
Bonjour ,
Citation :
b) C'est plus simple si tu écris les choses comme ça : avec la relation J^2 = 2J tu peux chercher les coefficients c et d tels que (aI + bJ)(cI + dJ) = I
b) C'est plus simple si tu écris les choses comme ça : avec la relation J^2 = 2J tu peux chercher les coefficients c et d tels que (aI + bJ)(cI + dJ) = I
Si j'ai bien compris, ce serait de dire que a*c=1.
La suite de la question est si M est inversible, montrer que M^-1 appartient à E et donner M^-1, je ne vois pas comment faire.
salut
il est dommage de ne pas donner un énoncé propre et complet puis ensuite les réponse car c'est peu clair ...
que vaut (aI + bJ)(cI + dJ) ?
si M = aI + bJ alors à quelle condition M est-elle inversible ?
Citation :
que vaut (aI + bJ)(cI + dJ) ?
que vaut (aI + bJ)(cI + dJ) ?
acI+(ad+bc+2bd)J
Citation :
si M = aI + bJ alors à quelle condition M est-elle inversible ?
si M = aI + bJ alors à quelle condition M est-elle inversible ?
J'essaie de comprendre où vous voulez arriver car comme j'avais calculé le déterminant et donné les conditions où il est différent de 0.
Ah d'accord je crois m'être embourbée toute seule, pour suivre le parcours de l'exercice, je comprends mieux pourquoi carpediem parlait de clarté de l'énoncé.
Lorsqu'on me demande la condition nécessaire et suffisante sur a et b de la matrice M=aI+bJ pour qu'elle soit inversible, je la trouve avec le déterminant et ensuite comme on me demande M^-1, alors je cherche c et d pour avoir la forme de M^-1, grâce à M*M^-1=I.
Ensuite la question suivante qui me demande de démontrer que M^-1 appartient à E, est-ce qu'on peut dire si M*M^-1 = I est suffisant.
Comme c'est un peu plus clair pour moi, je reprends tout ça.
effectivement la condition nécessaire et suffisante est que son déterminant n'est pas nul ... mais tu ne sais pas si son inverse appartient à E
ce que propose lionel52 y répond ...
Ok, je vais essayer de vous suivre sans aller trop vite.
Donc:
ac=1 et ad+bc+2db=0 ce qui donne c=1/a et d=
et où l'on voit réapparaître les conditions nécessaires de l'inversibilité de M
et donc conclusion ?
Ok mais les conditions nécessaires de l'inversibilité de M je les vois là parce que j'ai calculé le déterminant sinon ne me sauteraient pas aux yeux du tout.
Conclusion : M-1 appartient à E.
Pour la question 2c)
M=aI2+bJ, montrer pour tout p appartenant à N*, il existe 2 réels ap et bp tels que M^p= apI2+bpJ et les déterminer.
J'ai répondu ainsi :
Par récurrence: p=0 ok si a0=1 et b0=0
M^(p+1)=M^p*M= apI2+bpJ*(apI2+bpJ)=ap^2I2+apbpJ+bpapJ+bp^2J^2 = ap^2I2+apbpJ+bpapJ+bp^2J = ap^2I2+(2apbp+2bp)J.
ap+1=ap^2
bp+1=2apbp+2bp^2
a0=1
b0=0
Est-ce ce qui est attendu ?
ben oui mais ce que tu as dit avec le déterminant est exact !!! il fallait répondre cela mais la suite de l'exercice montre nécessite ce qui a été fait !
ok pour la récurrence ... mais elle est fausse
Bonjour,
Oui, un petit souci d'indices.
Donc Mp+1=apaI2+(apb+abp+2bbp) J
ap+1=apa
bp+1=apb+abp+2bbp
a0=1
b0=0
Pour trouver ap et bp, j'ai pensé passer par : ap+2 et bp+2 et ainsi avoir une récurrence d'ordre 2, mais je me demande si c'est bien la voie à suivre :
ap+2=ap+1a .... car équation caractéristique : r^2-ar =0
et bp+2=ap+1b+abp+1+2bb+1= apab+(a+2b)bp+1
Bonjour,
L'énoncé précise , donc p, entier naturel non nul.
serait l'identité, la récurrence serait vite pliée
Il faut partir de
Pour les puissances de M , j'utiliserai le binôme de Newton car ça se généralise à toutes les dimensions (et le calcul est pas très compliqué ici ...)
Au delà de l'étourderie, p appartient à N*, j'ai perdu le fil de vos corrections. Pouvez-vous m'expliquer un peu plus en détail, je vous remercie par avance.
On a les deux relations de récurrence
(1) et
La première permet de calculer en fonction de
La seconde s'écrit
soit compte tenu de (1)
ce qui constitue une relation de récurrence entre et
pour reprendre les notations de tout à l'heure.
bof pour l'initialisation
mais si on veut "voir" les coefficients a et b il faut évidemment commencer à p = 1 pour l'hérédité ... qui a été faite implicitement lors du calcul de MM' .... (il suffit de prendre M = M^p et M' = M)
pour l'hérédité larrech a tout dit ...
Cela donnait donnait quand même les termes de rang pair...Essayons de mieux faire.
(1), d'où, sans difficulté,
, d'où
, d'après (1) ,soit
et en posant cette fois , la relation de récurrence
Bonjour,
Merci beaucoup, même si le procédé m'est encore assez brumeux mais je vais me pencher davantage dessus. Car l'étape à faire: 2bp+1+ap+1 ne m'est pas du tout instinctif pour arriver à sortir une forme de bp.
Je vais avancer un peu la question 3 est redondante de la 2 et arriver à la 4.
a) On demande de calculer J2, qui est nJ
b) Ici on pose M=aIn+bJ et on doit montrer que ker (M)={0} si et seulement si et a+nb
le noyau ker(M) c'est XM=0 avec X= (x1,...,xn), ce qui fait :
(aIn+bJ)*(x1,...,xn)=0, et la je comprends le contraire de l'énoncé càd a=0 et a+nb=0 et non a!
alors tu as fait une erreur ...
si M = aI + bJ alors il est évident que si a = 0 alors M = J et Ker M <> 0
réécris proprement le système MX = 0 ... puis ajoute les n égalités entre elles ... (ce me semble-t-il)
Citation :
d) En utilisant la même méthode qu'en 2 avec M=aIn+bJ calculer M^p
Même résultat qu'en 2 sauf qu'on met In au lieu de I2
d) En utilisant la même méthode qu'en 2 avec M=aIn+bJ calculer M^p
Même résultat qu'en 2 sauf qu'on met In au lieu de I2
Pas vraiment puisqu'alors
Voilà ce que je faisais, je prenais pour exemple n=2, pour comprendre déjà à ce niveau avant d'avoir n :
M=aI2+bJ =
et donc MX = 0 donne
(a+b)*x1+b*x2 =0
b*x1+(a+b)*x2 =0
qui me donnerait (a+2b)x1+(a+2b)x2=0, mais ce n'est pas ça alors car a+2b=0 !
Oui, il suffit de remplacer 2 par n dans le calcul de an et bn, mais je répondais à ce que sheigh avait écrit
larrech : ha oui !! 
sheigh :
Citation :
qui me donnerait (a+2b)x1+(a+2b)x2=0, mais ce n'est pas ça alors car a+2b=0 !
et tu ne vois pas de facteur commun dans ce qui est en rouge !!!qui me donnerait (a+2b)x1+(a+2b)x2=0, mais ce n'est pas ça alors car a+2b=0 !
PS : et si on fait ainsi lorsque n = n c'est parce que calculer un déterminant d'ordre n est autrement plus compliqué (chiant, pénible, ...) que calculer un déterminant lorsque n = 2 ...
sheigh :
Citation :
qui me donnerait (a+2b)x1+(a+2b)x2=0, mais ce n'est pas ça alors car a+2b=0 !
et tu ne vois pas de facteur commun dans ce qui est en rouge !!!qui me donnerait (a+2b)x1+(a+2b)x2=0, mais ce n'est pas ça alors car a+2b=0 !
Je vais me cacher, oui, je vois.Merci.
Citation :
PS : et si on fait ainsi lorsque n = n c'est parce que calculer un déterminant d'ordre n est autrement plus compliqué (chiant, pénible, ...) que calculer un déterminant lorsque n = 2 ...
PS : et si on fait ainsi lorsque n = n c'est parce que calculer un déterminant d'ordre n est autrement plus compliqué (chiant, pénible, ...) que calculer un déterminant lorsque n = 2 ...
Alors là pas trop vite, je n'ai pas compris en calculant le noyau, on trouve le déterminant ? Mais comment ? Par quel lien ?
Non. Le noyau est réduit au vecteur nul, ssi le déterminant du système MX=0 est différent de 0 car il n'admet alors que la solution triviale X=0 (système de Cramer).
Donc une autre façon serait de calculer det(M) et d'écrire qu'il n'est pas nul.
Ok et donc la question suivante avec en déduire en découle.
Un grand merci, votre aide a vraiment déblayé cet exercice à mes yeux. Il me reste plus qu'à reprendre tout cela la tête bien reposée et trouver d'autres exercices de ce genre sur le net.