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Niveau Reprise d'études
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Algèbre linéaire

Posté par
sheigh
19-04-19 à 10:59

Bonjour à toutes et tous,

Voici un problème qui sur sa forme me perturbe un peu et me prendra un temps fou à tout faire et comprendre.

E désigne l'ev(espace vectoriel) des fonctions continues de R dans R, noté E=C(R,R). E1 sev de E formé des fonctions continues 1-périodiques, càd des fonctions continues vérifiant pour tout réel x, f(x+1)=f(x).
Dans tout le problème on désigne par \varphi l'application définie sur E par :
pour toute fonction f appartenant à E, \varphi(f)=F où F est la fonction de R dans R qui à x associe \int_{x}^{x+1}{f(t) dt}

Partie I: quelques propriétés de F=\varphi (f) et de l'application \varphi

1- exemples
a) expliciter F(x), si f est définie par f(t)=1
b) soit k appartenant à N*, expliciter F(x) si f est définie par f(t)=tk

2-propriété de \varphi
Montrer que \varphi est un endomorphisme de E.

3-Variation de F=\varphi (f)
On désigne maintenant par f une fonction arbitraire de E.
a)Justifier que la fonction F est de classe C1 sur R, expliciter F'(x) en fonction de f et x (on pourra utiliser une primitive H de f).
b) Montrer que si la fonction f est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle Jxo=[xo,+[, alors F est croissante (respectivement décroissante) sur Jxo.
c) Montrer que F=\varphi (f) est constante sur R si seulement si f appartient à E1.
d) soit f la fonction définie par f(t)=\mid sin(\Pi t)\mid, vérifier que f appartient à E1. Expliciter F(x).

4) Soient f appartenant à E et F=\varphi (f). On considère la fonction G définie par G(u)=F(u-1/2)
Comparer G(u) et G(-u) lorsque f est impaire (respectivement lorsque f est paire).

Partie II: Etude de noyau

1) Montrer que l'endomorphisme \varphi n'est pas surjectif (on pourra utiliser la question 3a de la partie I)

2) Montrer que f appartient à ker(\varphi) si seulement f appartient à E1 et \int_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} = 0

désormais dans cette partie les fonctions sont considérées comme éléments de E1.

3) Soient f et g deux fonctions de E1, on pose <f,g>=\int_{0}^{1}{f(t) g(t) dt}, montrer que l'application (f,g)\rightarrow<f,g>=\int_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} est un produit scalaire sur E1.

4) Soit k appartenant à N*, on note ck la fonction définie par ck(t)= cos (2kt)

a) Vérifier que pour tout k *, ck appartient au noyau de .

b) Soit(k,j) *)2, calculer <ck,cj> lorsque kj puis lorsque k=j

c) Montrer que ker() n'est pas de dimension finie

Partie III : Noyau de -IdE
Dans cette question, les fonctions considérées sont des fonctions quelques de E. On note 0E la fonction nulle sur .

1) Soit a un réel fixé, on note ha la fonction définie sur par ha(t)=eat
Montrer que ha appartient au noyau de -IdE pour une valeur de que l'on précisera.

2) On considère la fonction h:u \frac{exp(u)-1}{u}
où u *

a) Montrer que h peut-être prolongée par continuité en 0. Préciser la valeur de h(0).

b) Soit u *, déterminer h'(u), on pose h'(u)=\frac{N(u)}{u^2}. Etudier la variation de la fonction N sur , en déduire la variation de h sur .

3) Montrer que pour tout réel positif ou nul , ker (-IdE){0E}

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 19-04-19 à 11:10

Partie I
1)a) Je n'avais jamais vu le terme "expliciter" une fonction à ce jour, vu la question je me dis que c'est sûrement dire donner la forme de ...
si f(t)=1 alors
F(x)=\int_{x}^{x+1}{1 dt} =[x](x+1,x)=x+1-x=1

b)Soit k*, F(x)=\int_{x}^{x+1}{t^k} =\left[\frac{t^(k+1)}{k+1} \right](x,x+1) = \frac{x+1^(k+1)-x^(k+1)}{k+1}

2) Comme est une intégrale et on sait que intégrale est linéaire donc est un endomorphisme, est-ce suffisant ?

3) a) f est continue sur [x,x+1] et ses primitives sont de classe C1
Expliciter F'(x) là je suis déjà bloquée

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 19-04-19 à 11:10

salut

ok ! tu nous as posé l'énoncé complet et (presque) propre : qui est la fonction g de la partie II 2/

à part ça il serait bien de nous donner tes réponses ... et pas une par une pour qu'il n'y ait pas ouatmille post et que ça devienne incompréhensible

la partie I est relativement basique donc présente nous tous les réponses et on verra ...

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 19-04-19 à 11:15

1/ pour mettre en latex des exposants les écrire entre accolades : x^{k + 1} donne x^{k + 1}

2/ un peu rapide : calculer \phi(f + ag) (x) ....

3/ on te donne une indication ...

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 21-04-19 à 11:19

Partie 1 :

1)a, b répondus dans post précédent

2) Soit f et g 2 fonctions de E et un réel
(f+g) (x) = (f(x))+ (g(x))= F(x)+G(x) = \int_{x}^{x+1}{f(t)}dt + \int_{x}^{x+1}{g(t)}dt
donc est bien un endomorphisme de E

3) a) f E et admet des primitives sur , F est l'une d'entre elles on peut donc écrire :
x F(x)=\int_{x}^{x+1}{f(t)dt} = [F(t)](x,x+1) = F(x+1)-F(x). F(x) est continue sur R et même dérivable sur R, et sa dérivée n'est autre que la fonction continue f(x+1)-f(x), donc F est de classe C1 sur .

F(x)=\int_{x}^{x+1}{f(t)dt} où H tel que H'=f
F(x)=H(x+1)-H(x)
F'(x)=(H(x+1)-H(x))'=f(x+1)-f(x)

b) Pour tout x Jxo = [xo,+[, si f est croissante alors f'(x) >0, or f est la dérivée de F, si elle est croissante et est donc >0 donc F est croissante aussi.

c) là si f E1, elle est 1-périodique, mais je ne comprends pas F constante sur

d) f(t)=\mid sin(\Pi t)\mid
vérifions que f(t) E1\mid sin(\Pi (t+1)\mid = \mid sin(\Pi t+\Pi) \mid = \mid sin(\Pi t)*cos(\Pi )+cos(\Pi t)*sin(\Pi )\mid =\mid -sin\Pi t\mid =
=\mid sin(\Pi t)\mid

expliciter F(x): F(x)=[-cos(x)/](x,x+1)

4) si f est impaire alors f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0
-F(-x)+F(x)=0
or G(u)=F(u-1/2)
-F(-u-1/2)+F(u-1/2)
donc -G(-u)+G(u) =0 donc G(u)=G(-u) donc G est paire

Et de même pour f paire.

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 21-04-19 à 11:29

tu mélanges f et F

F(x) = h(x + 1) - h(x) donc F'(x) = f(x + 1) - f(x)

or f est croissante donc f(x + 1) - f(x) > 0 ...

de même pour la continuité c'est un peu imprécis :

F est par définition continue et dérivable

et sa dérivée x --> f(x + 1) - f(x) est continue comme somme (différence) et composée de fonctions continues ...


franchement utiliser sin (a + b) lorsque b = pi !!!

sin (x + pi) = ... ?

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 21-04-19 à 11:46

Citation :
tu mélanges f et F

Ah bon, d'accord, ben je vais revoir ça.

Citation :
sin (x + pi) = ...

Oui, mais je ne saurai pas dire pourquoi les formules trigo ne me restent pas en tête, du coup je passe par cette formule, mais j'y remédie.

En tout cas merci.

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 21-04-19 à 11:50

Ah et j'oubliai un peu d'aide pour la question 3c) merci par avance.

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 21-04-19 à 11:56

3c/ ben si f est 1-périodique que vaut f(x + 1) - f(x) ?

plus précisément tu mélanges F et H dans 3a/ ...

Posté par
larrech
re : Algèbre linéaire 21-04-19 à 11:59

Bonjour,

@ sheigh  Pour la 2), même si c'est évident, ne pas oublier de montrer que (f)E1

Posté par
larrech
re : Algèbre linéaire 21-04-19 à 13:54

En fait c'est inutile, l'énoncé (que j'aurais dû lire plus attentivement ) dit " un endomorphisme de E"

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 22-04-19 à 14:53

Citation :
3c/ ben si f est 1-périodique que vaut f(x + 1) - f(x) ?

Compris f(x+1)-f(x)=0 car 1-périodique
comme F'(x)=f(x+1)-f(x)=0 donc F est une constante lorsque f E1.

Citation :
plus précisément tu mélanges F et H dans 3a/ ...

oui du coup, je m'emmêlais complètement dans la suite.
Suite commence à se corser davantage...

Partie 2:
1) n'est pas surjectif :
Si  était surjective, on aurait :
g C(,), f C(,) tel que g=(f) or d'après 3a, F est de classe C1, or certaines fonctions sont continues pas pas dérivables sur . Donc n'est pas surjectif.

2) f ker (f) ssi f E1 et \int_{0}^{1}{f(t)dt=0}
Là j'ai un peu de mal car pour moi ker ()=\int_{x}^{x+1}{f(t)dt =0}, j'ai compris, mais comment démontrer qu'il faut f E1 et (surtou) \int_{0}^{1}{f(t)dt}?

3) ok

4) Je bloque de a jusqu'à d)

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 23-04-19 à 14:59

Bonjour ,

J'avance petit à petit.

2) Ker (f) \int_{x}^{x+1}{f(t)dt} =0
Si je prends l'exemple de la partie 1, f(t)= \mid sin(\Pi t)\mid, on a bien démontré que f E1 et \int \int_{0}^{1}{\mid sin(\Pi t) dt} =0, donc f Ker(f)
mais comment écrire cela mathématiquement ?

3) cours

4) a)ck à ker(f) ssi :
\int_{0}^{1}{cos(2\Pi kt)}=0, ce que j'ai vérifié et ok et donc ck au noyau de .

b) on a
<f,g>=\int_{0}^{1}{f(t) g(t) dt} un produit scalaire, donc:
<ck,cj>=<cos(2kt,cos(2kj)=\int_{0}^{1}{(cos(2\Pi kt)*cos(2\Pi kj)dt}
si k=j
\int_{0}^{1}{cos(2\Pi kt)^2 dt}
si kj, \int_{0}^{1}{cos(2\Pi kt)*cos(2\Pi jt) dt}

c) Pour tout n*, (ck)1kn est libre ssi:
\sum_{k=1}^{n}{\lambda n * cos(2\Pi kt)}=0

d) ça me paraît logique d'après ce qu'on a vu tout le long de la partie mais à démontrer je pêche.

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 23-04-19 à 15:25

ouais enfin !!

tout ce qui précède une question peut servir

je note L pour phi et V pour "quel que soit"

L(f) = 0 <=> F = 0 <=> V x : H(x + 1) - H(x) = 0 => V x : H'(x +1) = H'(x) <=> V x : f(x + 1) = f(x) <=> f E_1

réciproquement montre que si f est dans E_1 alors L(f) = 0


partie II 2/ : qui est g dans l'intégrale ? (déjà demandé à 11h10 ...

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 23-04-19 à 15:27

PS : si f est 1-périodique alors pour tout x : \int_0^1 f(t)dt = \int_{0+ x}^{1 + x} f(t)dt

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 23-04-19 à 15:39

Citation :
partie II 2/ : qui est g dans l'intégrale ? (déjà demandé à 11h10 ...

A part que c'est une fonction de E1, je n'ai rien d'autre dans mon énoncé.

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 23-04-19 à 15:42

Citation :
Partie II: Etude de noyau

1) Montrer que l'endomorphisme \varphi n'est pas surjectif (on pourra utiliser la question 3a de la partie I)

2) Montrer que f appartient à ker(\varphi) si seulement f appartient à E1 et \int_{0}^{1}{f(t) {\red g(t)}  dt} = 0
nulle part il est défini g !!

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 23-04-19 à 16:37

Citation :
nulle part il est défini g !!

C'est exact, g est défini nulle part. ^^

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 23-04-19 à 17:28

et je pense que c'est une erreur d'énoncé (ou de recopie de ta part) ... si tu regardes mon msg de 15h25 et le suivant ...

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 23-04-19 à 20:13

Alors c'est bien une erreur d'énoncé.:-|🤔

Posté par
sheigh
re : Algèbre linéaire 24-04-19 à 12:25

Bonjour,

Oh toutes mes excuses, j'étais sur la question suivante et je ne voyais pas le problème alors oui, j'ai mal recopié la question est :

2) Montrer que f à Ker(f)si seulement si f à E1 et \int_{0}^{1}{f(t)dt=0}

et non

Citation :
2) Montrer que f appartient à ker(\varphi) si seulement f appartient à E1 et \int_{0}^{1}{f(t) {\red g(t)}  dt} = 0



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