Bonjour à toutes et tous,
Voici un problème qui sur sa forme me perturbe un peu et me prendra un temps fou à tout faire et comprendre.
E désigne l'ev(espace vectoriel) des fonctions continues de R dans R, noté E=C(R,R). E1 sev de E formé des fonctions continues 1-périodiques, càd des fonctions continues vérifiant pour tout réel x, f(x+1)=f(x).
Dans tout le problème on désigne par l'application définie sur E par :
pour toute fonction f appartenant à E, (f)=F où F est la fonction de R dans R qui à x associe
Partie I: quelques propriétés de F= et de l'application
1- exemples
a) expliciter F(x), si f est définie par f(t)=1
b) soit k appartenant à N*, expliciter F(x) si f est définie par f(t)=tk
2-propriété de
Montrer que est un endomorphisme de E.
3-Variation de F=
On désigne maintenant par f une fonction arbitraire de E.
a)Justifier que la fonction F est de classe C1 sur R, expliciter F'(x) en fonction de f et x (on pourra utiliser une primitive H de f).
b) Montrer que si la fonction f est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle Jxo=[xo,+[, alors F est croissante (respectivement décroissante) sur Jxo.
c) Montrer que F= est constante sur R si seulement si f appartient à E1.
d) soit f la fonction définie par f(t)=, vérifier que f appartient à E1. Expliciter F(x).
4) Soient f appartenant à E et F=. On considère la fonction G définie par G(u)=F(u-1/2)
Comparer G(u) et G(-u) lorsque f est impaire (respectivement lorsque f est paire).
Partie II: Etude de noyau
1) Montrer que l'endomorphisme n'est pas surjectif (on pourra utiliser la question 3a de la partie I)
2) Montrer que f appartient à ker() si seulement f appartient à E1 et = 0
désormais dans cette partie les fonctions sont considérées comme éléments de E1.
3) Soient f et g deux fonctions de E1, on pose <f,g>=, montrer que l'application (f,g)<f,g>= est un produit scalaire sur E1.
4) Soit k appartenant à N*, on note ck la fonction définie par ck(t)= cos (2kt)
a) Vérifier que pour tout k *, ck appartient au noyau de .
b) Soit(k,j) *)2, calculer <ck,cj> lorsque kj puis lorsque k=j
c) Montrer que ker() n'est pas de dimension finie
Partie III : Noyau de -IdE
Dans cette question, les fonctions considérées sont des fonctions quelques de E. On note 0E la fonction nulle sur .
1) Soit a un réel fixé, on note ha la fonction définie sur par ha(t)=eat
Montrer que ha appartient au noyau de -IdE pour une valeur de que l'on précisera.
2) On considère la fonction h:u
où u *
a) Montrer que h peut-être prolongée par continuité en 0. Préciser la valeur de h(0).
b) Soit u *, déterminer h'(u), on pose h'(u)=. Etudier la variation de la fonction N sur , en déduire la variation de h sur .
3) Montrer que pour tout réel positif ou nul , ker (-IdE){0E}
Partie I
1)a) Je n'avais jamais vu le terme "expliciter" une fonction à ce jour, vu la question je me dis que c'est sûrement dire donner la forme de ...
si f(t)=1 alors
F(x)= =[x](x+1,x)=x+1-x=1
b)Soit k*, F(x)= = =
2) Comme est une intégrale et on sait que intégrale est linéaire donc est un endomorphisme, est-ce suffisant ?
3) a) f est continue sur [x,x+1] et ses primitives sont de classe C1
Expliciter F'(x) là je suis déjà bloquée
salut
ok ! tu nous as posé l'énoncé complet et (presque) propre : qui est la fonction g de la partie II 2/
à part ça il serait bien de nous donner tes réponses ... et pas une par une pour qu'il n'y ait pas ouatmille post et que ça devienne incompréhensible
la partie I est relativement basique donc présente nous tous les réponses et on verra ...
1/ pour mettre en latex des exposants les écrire entre accolades : x^{k + 1} donne
2/ un peu rapide : calculer ....
3/ on te donne une indication ...
Partie 1 :
1)a, b répondus dans post précédent
2) Soit f et g 2 fonctions de E et un réel
(f+g) (x) = (f(x))+ (g(x))= F(x)+G(x) =
donc est bien un endomorphisme de E
3) a) f E et admet des primitives sur , F est l'une d'entre elles on peut donc écrire :
x F(x)= = [F(t)](x,x+1) = F(x+1)-F(x). F(x) est continue sur R et même dérivable sur R, et sa dérivée n'est autre que la fonction continue f(x+1)-f(x), donc F est de classe C1 sur .
F(x)= où H tel que H'=f
F(x)=H(x+1)-H(x)
F'(x)=(H(x+1)-H(x))'=f(x+1)-f(x)
b) Pour tout x Jxo = [xo,+[, si f est croissante alors f'(x) >0, or f est la dérivée de F, si elle est croissante et est donc >0 donc F est croissante aussi.
c) là si f E1, elle est 1-périodique, mais je ne comprends pas F constante sur
d) f(t)=
vérifions que f(t) E1
=
expliciter F(x): F(x)=[-cos(x)/](x,x+1)
4) si f est impaire alors f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0
-F(-x)+F(x)=0
or G(u)=F(u-1/2)
-F(-u-1/2)+F(u-1/2)
donc -G(-u)+G(u) =0 donc G(u)=G(-u) donc G est paire
Et de même pour f paire.
tu mélanges f et F
F(x) = h(x + 1) - h(x) donc F'(x) = f(x + 1) - f(x)
or f est croissante donc f(x + 1) - f(x) > 0 ...
de même pour la continuité c'est un peu imprécis :
F est par définition continue et dérivable
et sa dérivée x --> f(x + 1) - f(x) est continue comme somme (différence) et composée de fonctions continues ...
franchement utiliser sin (a + b) lorsque b = pi !!!
sin (x + pi) = ... ?
3c/ ben si f est 1-périodique que vaut f(x + 1) - f(x) ?
plus précisément tu mélanges F et H dans 3a/ ...
En fait c'est inutile, l'énoncé (que j'aurais dû lire plus attentivement ) dit " un endomorphisme de E"
Bonjour ,
J'avance petit à petit.
2) Ker (f) =0
Si je prends l'exemple de la partie 1, f(t)= , on a bien démontré que f E1 et , donc f Ker(f)
mais comment écrire cela mathématiquement ?
3) cours
4) a)ck à ker(f) ssi :
, ce que j'ai vérifié et ok et donc ck au noyau de .
b) on a
<f,g>= un produit scalaire, donc:
<ck,cj>=<cos(2kt,cos(2kj)=
si k=j
si kj,
c) Pour tout n*, (ck)1kn est libre ssi:
d) ça me paraît logique d'après ce qu'on a vu tout le long de la partie mais à démontrer je pêche.
ouais enfin !!
tout ce qui précède une question peut servir
je note L pour phi et V pour "quel que soit"
L(f) = 0 <=> F = 0 <=> V x : H(x + 1) - H(x) = 0 => V x : H'(x +1) = H'(x) <=> V x : f(x + 1) = f(x) <=> f E_1
réciproquement montre que si f est dans E_1 alors L(f) = 0
partie II 2/ : qui est g dans l'intégrale ? (déjà demandé à 11h10 ...
et je pense que c'est une erreur d'énoncé (ou de recopie de ta part) ... si tu regardes mon msg de 15h25 et le suivant ...
Bonjour,
Oh toutes mes excuses, j'étais sur la question suivante et je ne voyais pas le problème alors oui, j'ai mal recopié la question est :
2) Montrer que f à Ker(f)si seulement si f à E1 et
et non
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