Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

algebre linéaire

Posté par
Oze
14-11-21 à 22:53

Bonjour,

J'ai cette exercice à résoudre, mais je n'y arrive pas. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

A et B sont des matrices définies positives et Q est unitaire. Il faut montrer que si A=BQ alors A=B

J'ai dit que comme A=BQ

et que A et B sont définies positives, alors il existe M et N inversible tel que A= MM^t et B=NN^t

Donc  MM^t =NN^t Q

et quand on passe au déterminant on a det(M)^2=det(N)^2det(Q)

Donc det(Q)>0

Comme Q est unitaire on a det(Q)=1 (on omet le -1)

Arriver ici j'aurais envie de conclure que Q est la matrice identité mais je me dis que c'est pas parce que son déterminant est 1 que c'est l'identité.

Si quelqu'un aurait une idée,

Merci de votre aide

Posté par
GBZM
re : algebre linéaire 15-11-21 à 08:05

Bonjour,

On t'a peut-être déjà fait démontrer que si S est hermitienne définie positive, il existe une unique matrice hermitienne définie positive T telle que S=T^2.
C'est très utile ici.

Posté par
Oze
re : algebre linéaire 15-11-21 à 08:11

et par rapport à ce que j'ai fait, je suis sur la bonne piste ou non?

Posté par
GBZM
re : algebre linéaire 15-11-21 à 08:22

Je dirais que non.

Posté par
Oze
re : algebre linéaire 15-11-21 à 08:46

ok du coup utilisons ton argument :

Comme A et B sont definie positive il existe une unique matrice hermitienne definie positive U et V tel que:

A= U^2 et B=V^2

Donc U^2=V^2Q

UU=VVQ
Par unicité de U et V, on aurait U=V et U = VQ, ie Q=Id

qu'en penses-tu?

Posté par
GBZM
re : algebre linéaire 15-11-21 à 08:59

Que tu nous escroques. Ton avant-dernière ligne, tu es bien d'accord que c'est un peu n'importe quoi ?

Ma suggestion, c'est plutôt de montrer que A et B sont des racines carrées de la même matrice hermitienne définie positive, pour appliquer le résultat que j'ai cité.
Au fait, ce résultat, tu le connais déjà ? Sinon, il faut le démontrer.

Posté par
Oze
re : algebre linéaire 15-11-21 à 09:00

haha effectivement

Nop je ne le connaissaid pas.

Je m'attèle à la tâche!

Posté par
GBZM
re : algebre linéaire 15-11-21 à 09:07

Je m'étonne un peu du niveau que tu indiques. Ce genre de chose n'est pas habituellement du ressort du 1er trimestre de la première année de licence !

Posté par
Oze
re : algebre linéaire 15-11-21 à 12:42

c'est bien un exo que j'ai à faire pourtant

Posté par
GBZM
re : algebre linéaire 15-11-21 à 14:02

Tu es en L1 dans quelle université ?
As-tu vu le théorème spectral pour les matrices hermitiennes ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : algebre linéaire 15-11-21 à 18:21

Bonjour,
@Oze,
Tu es en licence maths 1ère année depuis 9 ans ?

Posté par
Oze
re : algebre linéaire 15-11-21 à 21:30

Bonjour Sylvieg et re GBZM,

C'est un cours avancé d'algebre linaire de premiere année de l'open university of israel. Je refais un peu de math avec un ami la bas

Posté par
GBZM
re : algebre linéaire 15-11-21 à 23:21

Je pensais bien qu'il ne s'agissait pas d'un L1 comme on l'entend.
Reste la question : connais-tu le théorème spectral ?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !