Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Algèbre linéaire
Bonjour à tous,
Voici l'énoncé sur lequel j'ai besoin d'aide :
Soit f endomorphisme de E, E de dimension finie.
Démontrer que :
1) Ker(f) = Ker(f^2) => Im(f) inter Kerf(f) = {0}
2) Im(f) inter Kerf(f) = {0} => E = Im(f) + Ker (f)
3) E = Im(f) + Ker (f) => Im(f) = Im(f^2)
4) Im(f) = Im(f^2) => Ker(f) = Ker(f^2)
5) Que peut-on conclure de ces 4 premières questions
6) En déduire que, si f est un projecteur, alors Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires. La réciproque de cette proposition est-elle vraie ? Justifier.
J'ai réussi les 4 premières, quant à la 5e je pense que l'on peut dire que chaque implication devient une équivalence (je ne suis vraiment pas sûre) et pour la 6) j'ai dit que f = f^2 implique que Ker(f) = Ker(f^2) et avec les équivalences trouvées, on a le résultat.
Mon problème principal se trouve sur la dernière partie : je pense que la réciproque n'est pas toujours vraie mais je ne sais pas comment le prouver !!
Merci !
Bonjour
5) Si on note les propositions des premières questions, tu as prouvé que
ce qui montre bien que ces propositions sont équivalentes.
6) Regarde un endomorphisme de matrice
avec réel.
Merci beaucoup !
Si j'ai bien compris un endomorphisme de telle matrice me sert de contre exemple : puisque A^2 ≠ A mais que Ker et Im sont supplémentaires ?
(Je trouve Im(A) = Vect((a,0)) et Ker(A)={0}, est-ce juste ?)
PS : je ne vois pas comment je peux trouver l'endomorphisme à partir de la matrice puisque cette année j'ai seulement appris à écrire la matrice d'un endomorphisme !
Merci 
Oui, c'est l'idée, mais bien sur il faut discuter un peu sur la valeur de a.
Si tu es gêné(e) par la matrice, prends directement f(x,y)=(ax,0).
Oui, j'en avais déduit que l'endomorphisme devait ressembler à ça ! Et donc là j'ai juste à dire que à doit être non nul et non égal à 1 ? Pour ne pas avoir f o f = f ?
Exactement!
Tu dis que si a n'est ni nul ni égal à 1, f vérifie les propriétés de la première partie, mais n'est pas un projecteur.
Tu peux même donner directement un contrexemple en donnant une valeur à a.
Finalement j'ai une dernière question haha !
Je crois qu'il y a un problème dans les dimensions : d'après le théorème du rang je trouve que
dim(E) = dim(Im(f))
Or, j'ai un seul vecteur au lieu de 2 pour Im(f) ! Ce qui pose le problème suivant : je ne peux pas dire qu'il y a supplémentarité, si ?
Je ne sais pas duquel des endos du parles. Mais le théorème du rang n'a jamais dit que dim(E)=dim(Imf). Ce n'est vrai que pour les surjections et en dimension finie les surjections sont des bijections.
En fait je trouve que le Ker est réduit à 0 donc le théorème du rang pour l'endomorphisme f(x,y) = (ax,y) me donne bien dim(E) = dim (Im(f)) (puisque dim (Ker(f)) = 0) !! Ainsi je ne peux pas dire que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires dans E puisque je suis dans R^2 (dim=2) et que Im est de dim 1 ! Enfin je crois
Mais alors pas de problème! Avec ,
et
qui sont tous deux de dimension 1 et évidemment supplémentaires!
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac