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Algèbre linéaire

Posté par
inespaiva 19-03-23 à 11:29

Bonjour, j'ai cet exercice sur les espaces vectoriels, cette matière est nouvelle pour moi, donc je ne suis pas très sûre comment il faut faire pour commencer quelqu'un pourrait m'aider?
Je vous remercie en avance.

Soient V, W des K-espaces vectoriels et S une K-base de V . On suppose que V soit de dimension finie.
Pour tout s ∈ S, soit ws ∈ W.
Démontrer qu'il existe une et une seule application K-linéaire
ϕ : V → W telle que ϕ(s) = ws.

Posté par
matheux14re : Algèbre linéaire 19-03-23 à 12:44

Bonjour,

Soit V et W deux espaces vectoriels sur le corps K, où V est de dimension finie et S=\{s_1, \dots, s_n \} est une base de V. Soit w_1, \dots, w_n \in W.

Il faut chercher une application linéaire \phi : V \longrightarrow W telle que \phi(s_i)=w_i pour tout i \in \{1, \dots, n\}.

Soit v \in V et v=\sum_{i=1}^n a_is_i sa décomposition unique dans la base S.

Définis \phi(v) comme suit :

\phi(v) = \sum_{i=1}^n a_i w_i

1) Montre que \phi est bien définie, c'est-à-dire que la définition de \phi(v) ne dépend pas de la décomposition choisie pour v dans la base S.


2) Montrons maintenant que \phi est linéaire.


3) Montre que \phi est unique.

Tu auras donc montré l'existence et l'unicité de l'application linéaire \phi : V \longrightarrow W telle que \phi(s_i)=w_i pour tout i\in \{1, \dots, n\}.

Posté par
inespaivare : Algèbre linéaire 19-03-23 à 13:37

Je vous remercie pour votre aide, je ne suis pourtant pas sûre se savoir comment on montre c'est bien définie, il faut montrer que pour tout v dans V , ϕ(v) est bien dans W? mais comment?

Posté par
matheux14re : Algèbre linéaire 19-03-23 à 13:54

Soit v=\sum_{i=1}^n a_is_i et v=\sum_{i=1}^n b_is_i deux décompositions de v dans S.

Montre que \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)s_i = 0_V

Posté par
inespaivare : Algèbre linéaire 19-03-23 à 14:11

Je vous remercie


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