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Niveau Licence Maths 1e ann
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Algèbre linéaire

Posté par
inespaiva
15-04-23 à 17:23

Bonjour, je n'arrive pas à faire cette démonstration et là je suis complètement bloquée, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Je vous remercie en avance.

Soit M ∈ Mat n×n(C) une matrice à coefficients complexes, char M (X) son polynôme caractéristique et m M(X) son polynôme minimal.

Démontrer que charM(X) divise mM (X)^n.

Indication: Utiliser que dans C, tout polynôme unitaire de degré d se factorise comme  le produit de i=1 jusqu'à d pour (X-ai).

Posté par
Ulmiere
re : Algèbre linéaire 15-04-23 à 17:51

Utilise l'indication. Ecris \chi_M(x) = a(X-\lambda_1)^{a_1}\cdots(X-\lambda_d)^{a_d} avec \sigma(M) = \{\lambda_i, 1\leqslant i \leqslant d\leqslant n\}, \lambda_i <\lambda_j \forall i < j, \sum a_i = n, et a = (-1)^n ou 1, en fonction de ta définition du polynôme caractéristique

\mu_M(X) divise \chi_M(X), donc \mu_M s'écrit ...

et donc \chi_M(X) divise \mu_M(X)^n.

C'est exactement comme si t'avais des entiers que tu factorisais. Si le petit entier a exactement les mêmes facteurs premiers que le grand, mais avec des exposants inférieurs ou égaux, alors le grand entier est un diviseur du petit à la puissance n, pour n'importe quel n plus grand que le max des exposants du grand entier

Posté par
Ulmiere
re : Algèbre linéaire 15-04-23 à 18:02

Coquille : les valeurs propres ne sont pas forcément réelles,  je voualis dire \lamda_i\neq\lambda_j \forall i\neq j.

Et tant que j'y suis, le n optimal pour mon histoire de facteurs premiers est \max\limits_{p\in\mathbb{P}\cap D(petit)}}(\nu_p(grand)/\nu_p(petit))\nu_p(m) = \max\{k\geqslant 0 : p^k | m\}

Posté par
inespaiva
re : Algèbre linéaire 16-04-23 à 13:28

je vous remercie pour votre aide

Posté par
Ulmiere
re : Algèbre linéaire 16-04-23 à 18:10



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