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Algebre linéaire ???

Posté par rolling (invité) 03-04-04 à 09:24

salut,
probleme sur l'algebre linéaire :
espace vectoriel IR²
                                                                
                                                A=7   16
     -2  -5
dans la base i  j

Comment determiner les valeurs propres et une base de vecteurs propres de
A?

et on me demande aussi de prouver que les vecteur u=-2i+j et v=-4i+j
est une base de IR²

Puis quelle est la matrice de D de f dans la base (u:v)


Et au sujet de la matrice inverse si
p=  -2   -4
        1      1
comment determiner sa matrice inverse  ?
  Merci de m'aider
0+



                                                                
                                                                
                                                                
                                  

Posté par
Victor
re : Algebre linéaire ??? 03-04-04 à 12:26

Soit une valeur propre.
Il faut déterminer les solutions de :
det(A-I)=0

|7-............16| = 0
|-2............-5-|

(7-)(-5-)+32=0
On résout cette équation, on trouve deux solutions qui sont les valeurs
propres.

Ensuite, on résout ensuite chacun des systèmes :
(A-I)X=0 pour obtenir les vecteurs propres.

A suivre...

Posté par
Victor
re : Algebre linéaire ??? 03-04-04 à 12:30

(suite)
Solutions :
On trouve deux valeurs propres :
1=-1 et 2=3.

Le premier système est :
8x+16y=0
-2x-4y=0

Soit x=-2y donc comme vecteur propre on peut choisir (-2;1).

Le deuxième système :
4x+16y=0
-2x-8y=0

Soit x=-4y donc comme vecteur propre : (-4;1).

A suivre...

Posté par Guillaume (invité)re : Algebre linéaire ??? 03-04-04 à 12:33

il faut diagonaliser la matrice:
ps: j'ecris la matrice en lignes, j'espere que tu pourra suivre...

on calcule:
det(A-xId)
=det[[7-x,16][-2,-5-x]]
=(7-x)(-5-x)-16(-2)
=-35-7x+5x+x²+32
=x²-2x-3
=(x-1)(x+3)

les valeurs propes de A sont donc 1 et -3

pour avoir les vecteurs propres tu resout Ax=x puis Ax=-3x

u et v sont base de R² si il ne sont pas lié, pour cela on regardes
le det:[(-2,1)(-4,1)]=-2*1-1*4=-6 non nul donc pas liés!
on a 2 vecteurs libres dans un espace de dimension 2, c'est une
base.

je sais pas ce qu'est D, en tout cas tu applique sle sformules
de changement de base:
P^-1*D*P ou P est la matrice de passage.(voir ton cours)

Pour P deux solutions
sioit tu resout Px=B (systeme a deux inconues)
et alors tu as x=P^(-1)B

autre solution;
P^(-1)=1/det(P)*tr(comatrice(P))

detP=2
com(P)=[(1,-1)(4,-2)]
tr(com(P))=[(1,4)(-1,2)]
d'ou P^(-1)=(1/2)[(1,4)(-1,2)]

calculs a verifier
A+

Posté par
Victor
re : Algebre linéaire ??? 03-04-04 à 12:36

Les vecteurs u et v correspondent aux deux vecteurs propres, donc
dans la base (u;v), la matrice A peut s'écrire sous forme d'une
matrice diagonale D
-1...........0
0...........3
Les coefficients sont les valeurs propres de la matrice.

On a en fait D=P-1AP.

Pour déterminer la matrice inverse de P, il faut résoudre le système :
P(x y)=(a b) soit le système :
-2x-4y=a
x+y=b

Donc
-2y=a+2b
2x=a+4b

Donc
x=a/2+2b
y=-a/2-b

La matrice inverse P-1 est donc :
1/2.................2
-1/2.................-1.

@+



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