salut,
probleme sur l'algebre linéaire :
espace vectoriel IR²
A=7 16
-2 -5
dans la base i j
Comment determiner les valeurs propres et une base de vecteurs propres de
A?
et on me demande aussi de prouver que les vecteur u=-2i+j et v=-4i+j
est une base de IR²
Puis quelle est la matrice de D de f dans la base (u:v)
Et au sujet de la matrice inverse si
p= -2 -4
1 1
comment determiner sa matrice inverse ?
Merci de m'aider
0+
Soit une valeur propre.
Il faut déterminer les solutions de :
det(A-I)=0
|7-............16| = 0
|-2............-5-|
(7-)(-5-
)+32=0
On résout cette équation, on trouve deux solutions qui sont les valeurs
propres.
Ensuite, on résout ensuite chacun des systèmes :
(A-I)X=0 pour obtenir les vecteurs propres.
A suivre...
(suite)
Solutions :
On trouve deux valeurs propres :
1=-1 et
2=3.
Le premier système est :
8x+16y=0
-2x-4y=0
Soit x=-2y donc comme vecteur propre on peut choisir (-2;1).
Le deuxième système :
4x+16y=0
-2x-8y=0
Soit x=-4y donc comme vecteur propre : (-4;1).
A suivre...
il faut diagonaliser la matrice:
ps: j'ecris la matrice en lignes, j'espere que tu pourra suivre...
on calcule:
det(A-xId)
=det[[7-x,16][-2,-5-x]]
=(7-x)(-5-x)-16(-2)
=-35-7x+5x+x²+32
=x²-2x-3
=(x-1)(x+3)
les valeurs propes de A sont donc 1 et -3
pour avoir les vecteurs propres tu resout Ax=x puis Ax=-3x
u et v sont base de R² si il ne sont pas lié, pour cela on regardes
le det:[(-2,1)(-4,1)]=-2*1-1*4=-6 non nul donc pas liés!
on a 2 vecteurs libres dans un espace de dimension 2, c'est une
base.
je sais pas ce qu'est D, en tout cas tu applique sle sformules
de changement de base:
P^-1*D*P ou P est la matrice de passage.(voir ton cours)
Pour P deux solutions
sioit tu resout Px=B (systeme a deux inconues)
et alors tu as x=P^(-1)B
autre solution;
P^(-1)=1/det(P)*tr(comatrice(P))
detP=2
com(P)=[(1,-1)(4,-2)]
tr(com(P))=[(1,4)(-1,2)]
d'ou P^(-1)=(1/2)[(1,4)(-1,2)]
calculs a verifier
A+
Les vecteurs u et v correspondent aux deux vecteurs propres, donc
dans la base (u;v), la matrice A peut s'écrire sous forme d'une
matrice diagonale D
-1...........0
0...........3
Les coefficients sont les valeurs propres de la matrice.
On a en fait D=P-1AP.
Pour déterminer la matrice inverse de P, il faut résoudre le système :
P(x y)=(a b) soit le système :
-2x-4y=a
x+y=b
Donc
-2y=a+2b
2x=a+4b
Donc
x=a/2+2b
y=-a/2-b
La matrice inverse P-1 est donc :
1/2.................2
-1/2.................-1.
@+
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