Bonjour

Il suffit de déterminer le noyau de A!!!

Rebonjour
Pour la question d) est bien sûr un s.e.v de dimension 3 de . Mais où
est la base canonique de
vu la matrice A et la valeur de la réponse serait non.

Merci beaucoup pour ton aide.
Effectivement j'avais totalement oublier le noyau de A ...
je trouve Ker(f) = Vect (2 e1- e2 +e3)
Pour la deuxième réponse pourriez-vous m'expliquer un peu plus en détails car j'ai du mal à comprendre le raisonnement .
Cordialement

De plus voici le reste des questions
e. Déterminer une base et la dimension de Ker(f).
f. Déterminer la dimension et une base de Im(f).
g. On concatène cette base de Ker(A) et cette base de col(A); vérier si cela donne une base de
je trouve Ker(f) = vect(2 e1- e2 +e3)  et de dimension1
im(f) = vect (e1-e2+3e3, 5e1+e2-2e3, e4) et de dim 3
enfin je ne comprend pas a quoi correspond col(A) pour la question g

Rebonjour, La deuxième question n'est pas bien formulée à mon avis.
Donc je l'interprète l'espace de départ est R^4 et soit (e_1,e_2,e_3,e_4)
en est la base canonique.  R^3 peut être considéré (identifié) comme un sous espace de R^4  dont une base serait (e_1,e_2,e_3).  
par exemple pour (x,y,z)\in R^3  on fait correspondre (x,y,z,0) \in R^4.

Maintenant tu  as vu que dim Ker(A)=1. Donc par le th du rang dim Im(A)=3. Cela pourrait être R^3. Mais si on regarde la dernière colonne de A  on voit que f(e_4)=e_4=(0,0,0,1)
est n'appartient pas à R^3 tel que je l'ai identiifé.

D'accord merci pour ton aide.
Peux-tu me donner ton avis pour la question e et f ?
Pour la question g) j'ai concaténé ker(f) et im(f) je l'ai échelonnée réduite pour conclure que cette dernière est une base  . Peux-tu me dire si le raisonnement est correcte ?

Rebonjour
tu prends ta base de Ker(f) et tu lui ajoute ta base de Im(f).
Tu as donc une familles de 4 vecteurs et on demande si c'est une base.

Il y a plusieurs façon de répondre à cette question. Une façon de faire  est
tu écris la matrice constituée des coordonnées de ces vecteurs. On l'appelle P
par exemple et on a une base ssi det(P) \neq 0  

\neq veut dire

Merci je n'avais pas pensé aux det , je trouve -13 donc cela donne bien une base de R^4.

Ma dernière question est savoir si A est diagonalisable. as tu des pistes pour m'aider.

Encore merci pour ton aide

Pour voir si elle est diagonalisable, il faut d'abord calculer les valeurs propres.
Je ne sais pas si tu connais ton cours mais si on a 4 valeurs propres simples alors la réponse et oui. Sinon cela dépend.
En principe on calcule le polynôme caractéristique. Il est de degré 4. Cela peut parfois être difficile car une équation degré 4 ce n'est pas toujours commode.
Ceci étant dit le calcul est faisable : en effet
on sait déjà que 0 est valeur propre (penser à Ker f) et puis 1  aussi (car f(e4_)=e_4 )  
Donc on à déjà 2 racines, le polynôme caractéristique se factorise par
X(X-1)à on sera amené à résoudre un système de degré 2.  

D'accord je vais regarder de ce coté. Peux-tu juste me dire si elle diagonalisable sans me donner tout le détails juste pour voire si j'arrive a trouver la même chose.

Excuses moi de te déranger encore une fois pour la question d )
C'est pour savoir si j'ai bien compris. Si on voulais que la réponse soit oui, il aurait fallut que f(e4) soit une combiaison de f(e1),f(e2),f(e3)?

Oui elle est diagonalisable car les 2 dernières valeurs propres sont distinctes.
De toute façon en  principe tu dois diagonaliser: c'est à dire trouver une base de vecteurs propres
tu a déjà un vecteur propre pour 0 (le vecteur de base du noyau, ke l'appelle v_1)  
un vecteur propre pour 1  (c'est e_4  v_2=e_4).
Quand tu auras calculé les  deux dernières valeur propres (on les appelle a_3 et a_4)

Il faut résoudre les système Av_j= a_j v_j  j=3,4
pour trouver  v_j.
La matrice P=(v_1|v_2|v_3|v_4) sera telle que
D=P^(-1)AP  est la diagonale des v.p
Donc avec cela