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Niveau maths spé
algèbre linéaire diagonasibilité
Posté par eltoro
bonjour je suis en train de travailler un devoir maison provenant d'un sujet de concours centrale et je bloque sur une question qui doit surement avoir une réponse très simple mais que je ne vois pas donc je vous demande de l'aide
Soit A une matrice carrée réelle de taille 2 : A
M2(
)
1)Montrer que det(A-
In)=
2-tr(A)+det(A)
celle la c'est ok
2) Montrer que A est diagonalisable dans M2(
) si et seulement si
tr(A)2-4det(A)
0 ou 
0 tel que A=0*I2
je ne vois pas comment faire et pourtant cela doit être simple j'imagine
merci de vos réponses
Quelle est la condition nécessaire et suffisante sur le polynôme caractéristique de cette matrice A de taille 2 pour qu'elle ait deux valeurs propres complexes distinctes ?
il me faudrait deux valeurs propres distinctes conjugués afin que la matrice reste réelle j'imagine mais à part cela...
sinon je sais que tr(A) = somme des valeurs propres
et que je dois pouvoir ecrir D=P-1*A*P si elle est diagonalisable
avec D matrice diagonal et P de passage
Quel rapport entre les valeurs propres et le polynôme caractéristique ?
Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme du second degré ait deux racines distinctes dans (éventuellement réelles) ?
On sait que le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de f.
1] Si son discriminant qui vaut tr(A)2 - 4 det(A) est non nul, ce polynôme est à racines simples f est diagonalisable.
2] Si tr(A)2 - 4 det(A) est nul , f annule le polynôme P = ( X - Tr(A)/ 2) 2
Deux cas se présentent :
a] Si g = f - [Tr(A)/2] I2 n'est pas l'endomorphisme nul alors il est nilpotent d'odre 2 (g non nul et g2= P(f)=0).
g n'est pas diagonalisable et f = [Tr(A)/2] I2 + g non plus.
b] Si g = f - [Tr(A)/2] I2 est l'endomorphisme nul alors f est l'homothétie de rapport Tr(A)/2. Elle est diagonalisable (dans toute base de IR2)
1-> Pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
2->Le polynôme caractéristique de A se factorise en un produit de polynômes du premier degré
c'est la seul condition nécessaire et suffisante que je vois et que j'utilise régulierement mais dans ce cas je ne vois pas comment faire