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Algèbre linéaire endomorphismes
Bonjour je vous contacte pour cet énoncé,
Si f est donnée par la matrice A = ( 2,3 )
(4,5 )
Utiliser Pf(f) = 0 pour calculer f^2(v)= f o f(v)
Sans calculer A^2. Vérifiez. Puis calculer f^3(v) sans A^3 vérifiez.
Je ne sais pas vraiment par où commencer et quelles doivent être les étapes de mon raisonnement
Merci d'avance pour votre aide
Bonne journée
Bonjour,
En supposant que Pf désigne le polynôme caractéristique de f, je commencerais par utiliser le théorème de Cayley-Hamilton...
Bonsoir ,
Alors déjà pour moi le polynôme s'écrit
Pf(f)= f^2 −tr(A)f+det(A) f^0
Et il annule la matrice donc
A^2 -tr(A)A + det (A) =0, matrice nulle (2x2)
Suis je sur la bonne piste ?
Ensuite je dois isoler A^2?
Quel serait le raisonnement pour A^3?
Merci d'avance
Bonne soirée à vous
Suis je sur la bonne piste ?
Oui !
Quel serait le raisonnement pour A^3?
Multiplie l'équation A^2 -tr(A)A + det (A) =0 par A des deux côtés et isole A^3.
Et attention, écrire det(A) tel quel est inexact, c'est une équation matricielle, remplace det(A) par det(A).I2 où I2 est la matrice unité d'ordre 2.
Donc c'est plutôt :
Multiplie l'équation A^2 -tr(A)A + det (A).I2 =0 par A des deux côtés et isole A^3.
Bonjour,
Alors déjà je me suis rendu compte que je n'ai pas précisé que v = (1)
( 1)
Donc je ne sais pas trop comment utiliser
L'expression donnée de f^2(v)
Et d'accord pour l'I^2
Merci beaucoup
Bonne journée
Re,
Et du coup j'arrive à une expression de
A^2 = 7A +2I^2
Mais j'ai peur que cela ne respecte pas l'énoncé, il nous dit de pas calculer A^2
Pour le f^2(v) si j'ai un peu compris c'est l'appli de la matrice au carré sur le vecteur non? Qui se décompose en la composée de f donc la matrice et f(v) donc le produit A par v??ou alors Pf(v)??
Donc je fais cet opération et je l'injecte dans le polynôme ?
Je suis perdue entre deux raisonnements
Merci de l'aide
Alors déjà je me suis rendu compte que je n'ai pas précisé que v = (1)
C'est quoi ce v ? Un vecteur ? dans ce cas, il devrait y avoir deux composantes, par exemple
Autre chose ? A préciser...
Re,
Oui un vecteur j'ai écris les 2 composantes mais y'a du avoir une erreur
Non rien d'autre à part ça
Merci
OK...
En termes de matrices et de vecteurs, tu as donc ;
Tr(A) = 2+7 = 7
det(A) = 2*5-3*4 = -2
Le polynôme caractéristique d'écrit donc :
A²-7A-12.I2= 0
Et donc, pour tour vecteur v :
A².v -7A.v-12.v = 0
Ce qui te permet de répondre à ta première question pour A².v
Ensuite, en multipliant tout à gauche par A :
A3.v-7A².V-12.A.v = 0
Ce qui, à l'aide de la réponse précédente, te permet de répondre à la seconde question pour A3.v
D'accord donc j'utilise juste l'équation pour avoir A^2.v qui équivaut à f^2(v) si j'ai bien compris et pareil pour A^3
Et la vérification c'est juste le calcul de A^2 par exemple c'est ça ?
Merci
Et la vérification c'est juste le calcul de A^2 par exemple c'est ça ?
Effectivement, j'imagine que la "vérification" c'est le calcul direct de A² puis de A².v
D'accord
Et juste dernière petite question comme j'ai pas le théorème sous les yeux pour les coeff du polynôme je ne comprends pas le (-12) I^2
Merci
Et juste dernière petite question comme j'ai pas le théorème sous les yeux pour les coeff du polynôme je ne comprends pas le (-12) I^2
Comme tu l'as bien rappelé, le théorème de Cayley-Hamilton en dimension 2 revient à écrire, par exemple sous forme matricielle :
A² - Tr(A).A + Det(A).I2 = 0 (1)
Pour ta matrice A, tu as Tr(A) = +7 et Det(A) = -2
Et donc, en remplaçant dans (1) :
A² - 7.A - 2.I2 = 02
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