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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Algèbre linéaire endomorphismes

Posté par
Yasmi16
28-09-22 à 12:57

Bonjour je vous contacte pour cet énoncé,
Si f est donnée par la matrice A = ( 2,3 )
                                                                           (4,5 )
Utiliser Pf(f) = 0 pour calculer f^2(v)= f o f(v)
Sans calculer A^2. Vérifiez. Puis calculer f^3(v) sans A^3 vérifiez.
Je ne sais pas vraiment par où commencer et quelles doivent être les étapes de mon raisonnement
Merci d'avance pour votre aide
Bonne journée

Posté par
LeHibou
re : Algèbre linéaire endomorphismes 28-09-22 à 13:30

Bonjour,

En supposant que Pf désigne le polynôme caractéristique de f, je commencerais par utiliser le théorème de Cayley-Hamilton...

Posté par
Yasmi16
re : Algèbre linéaire endomorphismes 28-09-22 à 22:51

Bonsoir ,
Alors déjà pour moi le polynôme s'écrit
Pf(f)= f^2 −tr(A)f+det(A) f^0
Et il annule la matrice donc
A^2 -tr(A)A + det (A) =0, matrice nulle (2x2)
Suis je sur la bonne piste ?
Ensuite je dois isoler A^2?
Quel serait le raisonnement pour A^3?
Merci d'avance
Bonne soirée à vous

Posté par
LeHibou
re : Algèbre linéaire endomorphismes 28-09-22 à 23:26

Citation :
Suis je sur la bonne piste ?

Oui !

Citation :
Quel serait le raisonnement pour A^3?

Multiplie l'équation A^2 -tr(A)A + det (A) =0 par A des deux côtés et isole A^3.

Posté par
LeHibou
re : Algèbre linéaire endomorphismes 28-09-22 à 23:29

Et attention, écrire det(A) tel quel est inexact, c'est une équation matricielle, remplace det(A) par det(A).I2 où I2 est la matrice unité d'ordre 2.

Posté par
LeHibou
re : Algèbre linéaire endomorphismes 28-09-22 à 23:30

Donc c'est plutôt :

Multiplie l'équation A^2 -tr(A)A + det (A).I2 =0 par A des deux côtés et isole A^3.

Posté par
Yasmi16
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 09:08

Bonjour,
Alors déjà je me suis rendu compte que je n'ai pas précisé que v = (1)
                                   ( 1)
Donc je ne sais pas trop comment utiliser  
L'expression donnée de f^2(v)
Et d'accord pour l'I^2
Merci beaucoup
Bonne journée

Posté par
Yasmi16
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 09:17

Re,
Et du coup j'arrive à une expression de
A^2 = 7A +2I^2
Mais j'ai peur que cela ne respecte pas l'énoncé, il nous dit de pas calculer A^2
Pour le f^2(v) si j'ai un peu compris c'est l'appli de la matrice au carré sur le vecteur non? Qui se décompose en la composée de f donc la matrice et f(v) donc le produit A par v??ou alors Pf(v)??
Donc je fais cet opération  et je l'injecte dans le polynôme ?  
Je suis perdue entre deux raisonnements
Merci de l'aide

Posté par
LeHibou
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 09:18

Citation :
Alors déjà je me suis rendu compte que je n'ai pas précisé que v = (1)

C'est quoi ce v ? Un vecteur ? dans ce cas, il devrait y avoir deux composantes, par exemple \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}
Autre chose ? A préciser...

Posté par
Yasmi16
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 10:04

Re,
Oui un vecteur j'ai écris les 2 composantes mais y'a du avoir une erreur
Non rien d'autre à part ça
Merci

Posté par
LeHibou
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 10:25

OK...
En termes de matrices et de vecteurs, tu as donc ;
Tr(A) = 2+7 = 7
det(A) = 2*5-3*4 = -2
Le polynôme caractéristique d'écrit donc :
A²-7A-12.I2= 0
Et donc, pour tour vecteur v :
A².v -7A.v-12.v = 0
Ce qui te permet de répondre à ta première question pour A².v
Ensuite, en multipliant tout à gauche par A :
A3.v-7A².V-12.A.v = 0
Ce qui, à l'aide de la réponse précédente, te permet de répondre à la seconde question pour A3.v

Posté par
Yasmi16
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 11:25

D'accord donc j'utilise  juste l'équation pour avoir A^2.v qui équivaut à f^2(v) si j'ai bien compris et pareil pour A^3
Et la vérification c'est juste le calcul de A^2 par exemple c'est ça ?
Merci

Posté par
LeHibou
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 11:31

Citation :
Et la vérification c'est juste le calcul de A^2 par exemple c'est ça ?

Effectivement, j'imagine que la "vérification" c'est le calcul direct de A² puis de A².v

Posté par
Yasmi16
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 11:35

D'accord  
Et juste dernière petite question comme j'ai pas le théorème sous les yeux pour les coeff du polynôme je ne comprends pas le (-12) I^2
Merci

Posté par
LeHibou
re : Algèbre linéaire endomorphismes 29-09-22 à 11:46

Citation :
Et juste dernière petite question comme j'ai pas le théorème sous les yeux pour les coeff du polynôme je ne comprends pas le (-12) I^2

Comme tu l'as bien rappelé, le théorème de Cayley-Hamilton en dimension 2 revient à écrire, par exemple sous forme matricielle :
A² - Tr(A).A + Det(A).I2 = 0      (1)
Pour ta matrice A, tu as Tr(A) = +7 et Det(A) = -2
Et donc, en remplaçant dans (1) :
A² - 7.A - 2.I2 = 02



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