Bonjour,

Si est une matrice orthogonale, alors .

Si est une matrice orthogonale, alors .

Donc est inversible d'inverse .

Merci pour ta réponse rapide !


ça veut dire quoi matrice orthogonale ?
J'ai des exercices dans certains bouquins ou j'ai l'impression qu'ils utilisent tjrs la matrcice et d'autres non ! je suis un peu perdu...

Regarde ce lien : .

Je prends cet exemple :


On a une matrice M tq

       1  -1  -1
M =   -1   2   0
      -1   0   3

elle est dans la base canonique B = (e1, e2 ,e3)

et   B'= (e1' , e2', e3')   tq :  e1'=e1  ,  e2'=e1+e2 ,  e3'=2e1+e2+e3



la matrice de passage P est donc :      1  1  2
                                        0  1  2
                                        0  0  1

si j'essaie d'exprimer les vecteurs de l'ancienne base en fonction des nouveaux pour que je détermine je trouve un résultat différent que


pourquoi ?

Grave erreur de raisonnement !

SI P est orthogonale, ALORS det(P)=1 ou det(P)=-1.

Mais la réciproque est fausse !!

Regarde, par exemple, .

ah pardon erreur de frappe : la deuxième ligne c'est 0 1 1

alors

h pardon erreur de frappe : la deuxième ligne c'est 0 1 1

alors que je trouve en exprimant les vecteur de l'ancienne base en fct des nouveaux n'a rien à voir avec
; mais dans le corrigé il écrit
pourquoi ?

comment peut-on reconnaitre directement si une matrice P est orthogonale ou non ?

merci encore !

||C1||²=||C2||²=||C3||²=1 pardon...

Merci pour ton aide ! j'y vois un peu plus clair même si je comprends tjrs pas pourquoi dans pratiquement tous les exos que j'ai ils n'utilisent que la relation sans parler d'orthogonalité !
Dans l'exemple que j'ai donné ils trouve que A' est la matrice Id

Je crois comprendre moi ! La matrice P que tu as donné n'est pas celle du corrigé j'imagine ?

Je m'explique :

M est une matrice symétrique réelle (élément clé !) donc M est diagonalisable dans une base orthonormée (fondamental également !). C'est-à-dire qu'il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de l'endomorphisme canoniquement associé à M est diagonale.

Il faut donc trouver une base formée de vecteurs propres de cet endomorphisme et l'orthonormaliser (algorithme de Gramm-Schmidt).

Ensuite, en notant P la matrice de passage de la base canonique vers cette nouvelle base orthonormée formée de vecteurs propres, on a la relation A'=^tPAP car P^-1=^tP puisque P est orthogonale.

Oublie mon dernier message, ton corrigé fait autre chose et puis si t'es en sup tu n'as pas dû comprendre la moitié de ce que j'ai écrit...

Je ne comprends vraiment pas ton corrigé.

Appelons u l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice M.

Ce qui est sûr, c'est que la matrice de u dans la base B' n'est pas l'identité.

Le mieux serait que tu tapes intégralement l'énoncé et le corrigé de cet exercice pour que je puisse comprendre ça...

voici l'exercice ! je vais poster la correction qu'ils ont donné j'espère quelle sera lisible...

voilà :

Ah ben ça change tout !

f n'est pas un endomorphisme mais une forme bilinéaire (symétrique).

Or, pour une forme bilinéaire, on a bien la relation A'=^tPAP.

Ah bon ? je ne savais pas
je pensais que j'avais une matrice M une ancienne et une nouvelle base, alors c tjrs  
Qu'est ce qui change si j'ai une forme bilinéaire ? et pourquoi ça marche pas avec le

Je suis désolé mais ça dépasse mon niveau... Je ne connaissais pas cette relation non plus, mais je l'ai trouvé dans un cours sur les formes bilinéaires.

Quel est ton niveau en maths ?

Pour les applications linéaires (et donc en particulier pour les endomorphismes), la formule de changement de base est A'=P^-1AP.

Et pour les formes bilinéaires, la formule est A'=^tPAP.

Il faudrait demander à quelqu'un qui pourrait t'expliquer/donner la démonstration.

Désolé.

C'est l'avant-dernier théorème de la page 1 : .

J'ai trouvé une explication page 7 : .

Merci beaucoup pour ton aide
Je suis en maths spé ! j'avais mit maths sup par erreur
Donc j'ai tjrs pas bien compris comment ça marche ces changements de base ! comme je te disais en mécanique rationnelle le prof m'a tellement répété qu'une matrice dont le déterminant vaut 1 ben on écrit directement et j'ai fait cette erreur en examen d'algèbre !!! snif

Ah j'avais pas lu ton dernier post ! oui, là c'est clair

Merci beaucoup pour ton aide !  

En quelle filière ? Moi je suis en PC et ce n'est pas au programme... On parle pourtant de forme bilinéaire mais je n'ai jamais vu cette formule de changement de bases (qui n'est pas très éloignée de celle pour les applications linéaires).

C'est quoi la mécanique rationnelle ?

En tout cas, une matrice P dont le déterminant vaut 1 n'a aucune raison de vérifier la propriété ^tP=P^-1. Voir le contre-exemple suivant : .

En fait, je viens de trouver cette formule dans mon cours de sup ! (PCSI)

Bonjour, j'arrive un peu après la bataille, mais voilà des explications faciles à retenir, même si le poly cité par klux fait très bien le travail!

Cas d'un endomorphisme: y=f(x). dans une base donnée, on a Y=AX. On change de base par une matrice de passage P. Alors Y=PY' et X=PX'. On a donc et voilà pourquoi

Cas d'une forme bilinéaire b(x,y). On a Avec les notations ci-dessus pour le changement de base: et voilà pourquoi

En général il n'y a pas de rapport entre et

Merci Camélia, c'est parfait

Merci beaucoup à vous deux j'ai compris maintenant


_{ps : Klux>> La mécanique rationnelle traite la géométrie des masses, les torseurs, les tenseurs d'inertie, la cinématique du solide, la cinétique...ect ! on utilise beaucoup les matrices de passage d'un repère à l'autre}