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Algebre:theorie des groupes

Posté par
robby3 23-02-07 à 19:31

Bonjour à tous,comme promis,j'ai quelques questions sur un exercice que voici:

1)Montrer que les sous-groupes de (Z,+) sont exactement les h.Z ou hest dans N.
2)Prouver l'existence d'un entier naturel h vérifiant \pi^-1(G)=h.Z et constater que h divise n.
3)Etablir que G est cyclique engendré par w_n^het préciser son cardinal en fonction de h.
4)soit 1\le d\le b ou d est un diviseur de n.
justifier l'existence et l'unicité d'un sous-groupe d'ordre d de (Rn,x).O, le notera Gd.Constater que Gd contient out les éléments d'ordre d de Rn.
Quel est leur nombre.
5)Aprés avoir justifié que tout groupe cyclique de cardinal n est isomorphe à (Rn,x),énoncer le résultat valable pour tout groupe cyclique que vous venez de trouver.

Alors la 1) c'est fait,la 2) pour prouver l'existence il suffit de remarquer que \pi^{-1}(G)est un sous-groupe additif(\piétant un morphisme de groupe) mais je voias pas trop pourquoi h divise n...

Pour la 3) G est cyclique->ok engendré par w_n^h->ok et pour le cardinal:le plus petit entier \rm m\geq 1 tel que (e^\frac{i2h\pi}{n})^m=1 ... (on est dans un groupe cyclique) (presque ok)

pour la 4 et 5 je vois pas trop.J'ai besoin de vos lumieres.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:33

Bonsoir robby

1) C'est quoi n ? le cardinal de G ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:35

Pour la 3), je ne comprends pas ce que signifie \Large{R_{n}}.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:36

Toi aussi tu trouves que c'est pas clair

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:36

Citation :
Toi aussi tu trouves que c'est pas clair


ça se voit tant que ça !

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:37

oups pardon,je viens de me rendre compte que j'ai oublié une partie de l'énoncé...
je complete:

Soit n un entier non nul tel que Rn={\rm z dans C| z^n=1}

w_n^h=exp(2i\pi n) et \pi (k)=w_n^k une application de Z dans Rn.

Encore dsl

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:38

J'ai attendu que tu fasses le lourd avant moi

Le truc c'est que quand on réfléchit à un problème on a tout en tete ca nous parait clair et on oublie la moitié des notations

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:38

et G ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:39

Voila  l'énoncé complet...c'est vrai que c'était pas clair.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:39

Citation :
J'ai attendu que tu fasses le lourd avant moi




Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:39

G un sous-groupe de (Rn,x)...

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:40

non mais c'est vrai que la come j'étais dans l'exo j'avais zappé les notations...

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:44

Pour la 2), remarque que cela est équivalent à montrer que n est dans \Large{\pi^{-1}(G)}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:59

ok d'accord Kaiser...
Euhh je suis vraiment,vraiment désolé mais je vais devoir vous laisser(j'ai des invités),je m'excuse mille fois parce que c'est assez impoli...
DSL,décidement ce topic comence bien mal(j'oublie la moitié du sujet,contraint de partir trés tot...)
Je reviendrais sans aucun doute demain soir.
Encore pardon pour ce comportement.

Et merci A Kaiser déja de me repondre

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 19:59

Aucun problème !
à plus tard !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 20:04

Je propose qu'on ferme devant tant d'impolitesse

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 23-02-07 à 20:05



Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 02:38

Honteux me revoila,juste pour dire que je comprend pas pourquoi Kaiser me dit que "c'est équivalent de montrer que n est dans pi^-1(G)...??

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 02:41

Car si n est dans pi^(-1)(G) alors n est dans hZ donc h divise n.

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 13:27

Salut Cauchy,dire que n est dans hZ,ça veut dire que h divise n??
C'est une regle générale??
Merci à tout les deux pour vos réponses.

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 13:27

Si n est dans hZ par définition il existe m appartenant à Z tel que n=mh donc h divise n.

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 13:31

ahh bon d'accord...euh juste comme ça,c'est une propriété que je suis sensé connaitre ou queje vais voir ça??

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 13:32

Quoi donc?

Que si n est dans hZ alors h divise n?

Si oui ca se retrouve en 2 mots mais autrement dit hZ est l'ensemble des multiples de h.

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 13:48

oui! ahh ok hZ c'est l'ensemble des multiples de h...bon bah j'en aurais appris la...parce que en fait l'année derniere j'ai vu lesz trucs du genre Z/nZ mais c'était pas dit explicitement,on faisait tout le temps référence aux modulo...quelque chose...et j'en ai pas gardé un souvenir trés important...

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 13:54

C'est la base de comprendre ca je vois pas comment tu as répondu à la premiere question sinon.

Les sous-groupes de Z sont de la forme hZ avec h un entier,c'est le sous-groupe engendré par h cad l'ensemble des multiples de h.

Quand tu construis Z/nZ c'est un groupe quotient de Z par le sous-groupe nZ qui est distingué car Z est commutatif.

On range les éléments par classes,deux éléments x et y de Z sont dans la meme classe ssi x-y appartient à nZ soit n divise x-y.

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 14:22

ok trés bien Cauchy,la premiere question,elle était faite dans le cours...

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 17:47

Au fait c'est quoi 3$\pi?

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 18:31

\pic'est une application de z dans Rn définie par \pi(k)=e^{2ik\pi n}
En fait les premieres questions ça va à peu présnje pense pouvoir m'en tirer mais la ou j'ai du mal,c'est la 4,je comprend pas ce qu'ion me demande de faire concretement...
(d un diviseur de n...)

Posté par
Cauchyre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 18:40

Pour justifier l'existence d'un sous-groupe d'ordre d essaye de trouver un élément d'ordre d alors le sous-groupe qu'il engendre contient d éléments.

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 18:48

un élément d'ordre d...c'est un truc dans ce genre la??\rm z dans C et z^d=1??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 19:41

Bonjour

robby > par définition, dans un groupe G d'élémént neutre e, un élément x de G est d'ordre d est tel que \Large{x^{d}=e} et tel que d est le plus petit entier non nul qui vérifie ça.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 19:56

Oui Kaiser,d'ailleurs,tu m'avais déja donné cette définition dans un exercice assezs imilaire il y pas si longtemps,c'était juste pour voit si j'avais juste...parce qu'on sait jamais

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 19:57

euuhh juste je vais manger et aprés je m'attele plus fortement à cet exercice.
A tout à l'heure si tu es la

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 21:23

Bon finalement, robby, où en es-tu exactement ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 21:24

re,e^{2i\pi}est-il bien un élément d'ordre d?? je ne suis pas sur,pour d=1,k=n=1...alors commee^{2i\pi}=1c'estun élément d'ordre d non?
merci de votre aide.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 21:28

a priori il est d'ordre n et non d'ordre d.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 21:32

bon alors j'ai rien compris,je cherche le plus petit entier m\ge 1tel que:e^{(\frac{2i\pi h m}{n})^d}=1 ?? c'est bien ça??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 21:37

Je m'y perds un peu : à quelle question est-on en train de répondre ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 21:41

Moi aussi,je suis pommé!!
On répond à la question 4) Cauchy m'a dit qu'il fallait, que je trouve un élément d'ordre d puis le sous groupe qu'il engendre qui contiendra alors d éléments...voila.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 21:57

En gros, tu dois trouve un entier k compris entre 0 et n-1 tel que \Large{\exp(\frac{2ik\pi}{n})} soit d'ordre d.

Pour trouver cet entier, utilise le fait que \Large{\exp(\frac{2i\pi}{n})} est d'ordre n.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:02

euhh si je prend k=1 je retombe sur un élément d'ordre n...??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:03

non, d est fixé à l'avance et le complexe \Large{\exp(\frac{2ik\pi}{n})} doit être d'ordre d, donc il faut chercher k.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:40

bon j'ai trop de mal rien que pour ça et voila pff...
je cherche \rm k tel que e^{2i\pi k}{n}=1
alors k=1 ça va pas,k=0 on peut pas...je comprend pas,e^{2i\pi }{n}est d'ordre n...
k doit-il etre un multiple de 2 pour avoire^{2i\pi k}{n}d'ordre d??

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:40

c'est e^{2ik\pi}{n}

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:41

non pardon,e^(\frac{2ik\pi}{n})

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:46

Non, on ne cherche pas k tel que \Large{\exp(\frac{2ik\pi}{n})=1}

Reprenons :
cet entier k dépend de l'entier d donc tu dois l'exprimer en fonction de d.

on cherche k tel que \Large{\exp(\frac{2ik\pi}{n})} soit d'ordre d.

En particulier, on doit avoir \Large{\exp(\frac{2ikd\pi}{n})=1}

Ainsi, que doit vérifier l'entier kd ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:52

l'entier kd doit etre un multiple de n??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:53

oui !

et donc ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 22:59

et donc?? je sais pas,si kd est un multiple de n il existe un entier relatif k' tel que (kd).k'=n...non?

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 23:01

c'est pas du tout ça,c'est l'inverse...il existe k' tel que kd=k'n...

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