Bonjour,
Je voudrais quelques explications sur deux questions d'un sujet de bac .
Il s'agit des questions du bac S Nouvelle Calédonie du 26/11/2019, Partie C, 2)a) et 3).
Je vous résume le sujet:
f(x) = ln[(3x+1)/(x+1)], définie sur [0; +00[
Partie A:
1) lim f(x) en +00 = ln3
2)a) f'(x) = 2/[(x+1)(3x+1)]
2)b) f est strictement croissante sur [0; +00[
Partie B:
U0 = 3 et U(n+1)=f(Un)
1) On montre par récurrence: 1/2 <U(n+1)<Un
2) (Un) converge vers une limite strictement positive
Partie C:
Lim Un = l. f(l)=l
g(x) = f(x)-x, définie sur [0; +00[
On a le tableau de variation de g sur [0; +00[ tels que:
g est croissante de 0 à x0 et décroissante de x0 à +00
où: x0 = (-2+racine carrée de 7)/3 = 0,215 (environ)
Le maximum de g est g(x0) = 0,088 (environ)
g(0) = 0 et Lim g(x) en +00 = -00
1) On démontre que g(x) = 0 admet une unique solution strictement positive, notée alpha.
Jusque là, tout va bien. Les questions suivantes me posent problème, j'ai le corrigé mais je ne le comprends pas:
2)a) Recopier et compléter l'algorithme afin que la dernière valeur prise par la variable x soit une valeur approchée de alpha par excès à 0,01 près :
x <--- 0,22
Tant que ................ faire
x <--- x+0,01
Fin Tant que
La réponse est Tant que g(x)>0
Comment savoir cela?
D'après ce que j'ai compris, cet algorithme nous permet de trouver la dernière valeur strictement positive de x telle que g(x)>0. A partir de cette valeur, g(x) devient négative et donc on passe par 0 pour la valeur de alpha. Est-ce bien cela?
Ensuite, la question suivante:
2)b) Donner alors la dernière valeur prise par la variable x lors de l'exécution de l'algorithme:
D'après la table, je trouve que pour des valeurs de x de 0 à 0,52 , g(x)>0 puis g(0,53)<0.
Donc la dernière valeur de x est 0,53
3) En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite de (Un).
J'ai fait:
Comme g(0,52) = 0,0013 > 0 (environ) et que g(0,53) = -0,0036 <0 (environ) et que
Lim Un en +00 = l = f(l) >0 alors l=0,52 à 0,01 près.
On a choisi 0,52 car c'est la dernière valeur pour laquelle g(x) > 0 à 0,01 près ?
Merci d'avance
Salut,
2a : La fonction g est décroissante à partir de x0 , et g(x0) > 0.
On initialise donc l'algo à x0 (environ), et tant que g(x0) est positive, on "avance" d'un centième (x+0,01) et on calcule l'image par g : o attend le mment où elle va passer dans les négatifs.
Je sais pas si je suis assez clair... ?
3 : on demande une valeur approchée de l : tu peux choisir celleque tu veux (par défaut ou par excès, donc 0,52 ou 0,53)
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