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Algorithme-Fonction logarithme

Posté par Profil Tulipe18 29-01-20 à 10:49

Bonjour,
Je voudrais quelques explications sur deux questions d'un sujet de bac .
Il s'agit des questions du bac S Nouvelle Calédonie du 26/11/2019, Partie C, 2)a) et 3).
Je vous résume le sujet:
f(x) = ln[(3x+1)/(x+1)], définie sur [0; +00[
Partie A:
1) lim f(x) en +00 = ln3
2)a) f'(x) = 2/[(x+1)(3x+1)]
2)b) f est strictement croissante sur [0; +00[
Partie B:
U0 = 3 et U(n+1)=f(Un)
1) On montre par récurrence: 1/2 <U(n+1)<Un
2) (Un) converge  vers une limite strictement positive
Partie C:
Lim Un = l.  f(l)=l
g(x) = f(x)-x, définie sur [0; +00[
On a le tableau de variation de g sur [0; +00[ tels que:
g est croissante de 0 à x0 et décroissante de x0 à +00
où: x0 = (-2+racine carrée de 7)/3 = 0,215 (environ)
Le maximum de g est g(x0) = 0,088 (environ)
g(0) = 0 et Lim g(x) en +00 = -00
1) On démontre que g(x) = 0 admet une unique solution strictement positive, notée alpha.

Jusque là, tout va bien. Les questions suivantes me posent problème, j'ai le corrigé mais je ne le comprends pas:
2)a) Recopier et compléter l'algorithme afin que la dernière valeur prise par la variable x soit une valeur approchée de alpha par excès à 0,01 près :

x <--- 0,22
Tant que ................ faire
                   x <--- x+0,01
Fin Tant que


La réponse est Tant que g(x)>0
Comment savoir cela?
D'après ce que j'ai compris, cet algorithme nous permet de trouver la dernière valeur strictement positive de x telle que g(x)>0. A partir de cette valeur, g(x) devient négative et donc on passe par 0 pour la valeur de alpha. Est-ce bien cela?

Ensuite, la question suivante:
2)b) Donner alors la dernière valeur prise par la variable x lors de l'exécution de l'algorithme:
D'après la table, je trouve que pour des valeurs de x de 0 à 0,52 , g(x)>0 puis g(0,53)<0.
Donc la dernière valeur de x est 0,53
3) En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite de (Un).
J'ai fait:
Comme g(0,52) = 0,0013 > 0 (environ) et que g(0,53) = -0,0036 <0 (environ) et que
Lim Un en +00 = l = f(l) >0 alors l=0,52 à 0,01 près.

On a choisi 0,52 car c'est la dernière valeur pour laquelle g(x) > 0 à 0,01 près ?

Merci d'avance

Posté par
Yzz
re : Algorithme-Fonction logarithme 30-01-20 à 06:41

Salut,

2a : La fonction g est décroissante à partir de x0 , et g(x0) > 0.
On initialise donc l'algo à x0 (environ), et tant que g(x0) est positive, on "avance" d'un centième (x+0,01) et on calcule l'image par g : o attend le mment où elle va passer dans les négatifs.
Je sais pas si je suis assez clair... ?

3 : on demande une valeur approchée de l : tu peux choisir celleque tu veux (par défaut ou par excès, donc 0,52 ou 0,53)

Posté par Profil Tulipe18re : Algorithme-Fonction logarithme 30-01-20 à 09:41

Yzz @ 30-01-2020 à 06:41

Salut,

2a : La fonction g est décroissante à partir de x0 , et g(x0) > 0.
On initialise donc l'algo à x0 (environ), et tant que g(x0) est positive, on "avance" d'un centième (x+0,01) et on calcule l'image par g : o attend le mment où elle va passer dans les négatifs.
Je sais pas si je suis assez clair... ?

3 : on demande une valeur approchée de l : tu peux choisir celleque tu veux (par défaut ou par excès, donc 0,52 ou 0,53)


Merci pour ta réponse.
Finalement, j'avais bien compris.  Je n'étais pas sûre de moi

Posté par
Yzz
re : Algorithme-Fonction logarithme 30-01-20 à 13:27

Oké  



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