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Niveau seconde
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alignement de points

Posté par sonious (invité) 19-01-04 à 16:04

exo 1

Soit ABC un triangle, M est le milieu du segment AB et I est le milieu
du segment MC
1) Construire le point K tel que vecteur CK= 1/3 vecteur CB (n'est
pas à faire)
2) Démontrer que les points A, I et K sont alignés.

exo2
Soit ABC un triangle
1) Construire  les points M et N tels que vecteur AM = 2/3 vecteur AB
et  vecteur AN = 2/3 vecteur AC
2) Démontrer que les segments MN et BC sont parallèles.
3) Soient S et T les milieux respectifs des segments BC et MN.
Démontrer que les points A, S et T sont alignés.

Posté par
watik
re : alignement de points 19-01-04 à 16:23

bonjour. Permettez-moi de vous répondre.

Exercice1)
considérez le repère (B,BA,BC)

dans ce repère les coordonnées du point A sont (1,0)

le point M a pour coordonnées (1/2,0)

comme I est le milieu de [MC] on a :

2BI=BM+BC=1/2 BA + BC

donc BI=1/4BA+1/2BC  

BK=BC+CK=BC+1/3CB=BC-1/BC=2/3BC

donc les coordonnées du point I sont (1/4,1/2)

les composantes du vecteurs AI sont (1/4 -1,   1/2 -0)=(-3/4,1/2)

les composantes du vecteurs AK sont (0-1,2/3-0)=(-1,2/3)

les points A,I et K sont alignés ssi (AI,AK) est liée
                                                  ssi det(AI,AK)=0

or det(AI,AK)=(-3/4)(2/3)-(1/2)(-1)=1/2-1/2=0

donc les point A,I et K sont alignés.

Posté par
watik
re : alignement de points 19-01-04 à 16:38

exercice 2)

toujours la même méthode on choisit un repère on y exprimes les coordonnées
des points considérés puis on calcule les composantes des vecteurs
considérés.

retenez cette méthode elle marche toujours dans des exercice comme le votre.

dans lexo 2 on choisit le repère (A,AB,AC)

dans ce repère B(1,0), C(0,1)

AM=2/3AB donc M(2/3,0)

AN=2/3AC donc N(0,2/3)

le vecteur MN=MA+AN;    chasles
                      = 2/3AC-AM
                      =2/3AC-2/3AB
                      =2/3(AC-AB)
                      =2/3(BA+AC)
                      2/3BC

les vecteurs MN et BC sont donc liés par la relation : MN=2/3BC

donc les droite MN et BC sont parallèles.

je vous laisse montrer que A,S et T sont alignés en suivant la même
démonstration que j'ai faite pour l'exo 1.

cette façon interactive vous permettera de participer à la solution au
lieu de la recopier.

j'espère que vous agréez.

bon courage.



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