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alignement des milieux des hauteurs

Posté par
falilou1
16-03-21 à 17:26

Bonjour, quelqu'un peut m'aider sur cet exercice d'une phrase sur les vecteurs "Existe-t-il un triangle dont les milieux des hauteurs soient alignés", merci d'avance.

Posté par
alma78
re : alignement des milieux des hauteurs 16-03-21 à 17:36

Bonjour,
As-tu regardé ce qui se passe pour un triangle rectangle ?

Posté par
falilou1
re : alignement des milieux des hauteurs 21-03-21 à 11:59

Je viens de voir et les milieux des hauteurs sont alignés mais est-ce le seul cas ?

Posté par
alma78
re : alignement des milieux des hauteurs 21-03-21 à 12:15

Bonjour,
La question est "Existe-t-il un triangle dont les milieux des hauteurs soient alignés ?".
La réponse est donc « oui ». Et tu expliques quel type de rectangle.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 09:23

Bonjour,
Oui, répondre à la question initiale est fait.
Mais falilou1 a posé une question supplémentaire que je traduis :
"Existe-t-il un triangle non rectangle dont les milieux des hauteurs soient alignés" ?

Posté par
lake
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 11:42

Bonjour,

La réponse à la dernière question est non. Je me suis tourné vers les complexes (sur le cercle unité) avec a,b,c affixes des sommets A,B,C

J'ai obtenu (après quelques calculs pénibles) :

\text{milieux des hauteurs alignés} \Longleftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0

Je ne sais pas répondre à la question au niveau première.

Posté par
lake
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 11:43

Je peux retranscrire les calculs si besoin est

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 12:14

Merci
je vais essayer de les faire.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 14:46

Bon, j'ai compris l'équivalence entre (a+b)(b+c)(c+a)=0 et le triangle est rectangle
Sinon, je ne vois pas du tout quels calculs faire.
Une indication serait la bienvenue

Posté par
lake
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 14:52

J'étais en embuscade

Couic!

Évidemment ce message n'est pas du tout  destiné à falilou1.

Je n'ai pas vraiment fait dans la dentelle...

alignement des milieux des hauteurs

A,B,C sont sur le cercle unité en sorte que les conjugués de leurs affixes soient leurs inverses.

H est l'orthocentre du triangle ABC.
H'_A est le symétrique de l'orthocentre par rapport au côté (BC)
H_A est le pied de la hauteur issue de A.
A' est le milieu de la A hauteur.

h=a+b+c

L'écriture complexe de la symétrie d'axe (BC) : z'=-bc\,\bar{z}+b+c

  d'où h'_a=-\dfrac{bc}{a}  (On peut aussi se référer à ce fil : Une relation d’orthogonalité avec les complexes)

H_A est le milieu de [HH'_A] :

  h_a=\dfrac{a^2+ab+ac-bc}{2a}

A' est le milieu de [AH_A] (et permutation circulaire):

   \begin{cases}a'=\dfrac{3a^2+ab+ac-bc}{4a}\\b'=\dfrac{3b^2+ab+bc-ac}{4b}\\c'=\dfrac{3c^2+ac+bc-ab}{4c}\end{cases}

  \dfrac{a'-b'}{a'-c'}=\dfrac{a-b}{a-c}\,\dfrac{c}{b}\,\dfrac{2ab+c(a+b)}{2ac+b(a+c)}

  \dfrac{a'-b'}{a'-c'}-\overline{\left(\dfrac{a'-b'}{a'-c'}\right)}=0\Longleftrightarrow c[2ab+c(a+b)](2b+a+c)-b[2ac+b(a+c)](2c+a+b)=0 (ici, quelques calculs intermédiaires non retranscrits).

  \dfrac{a'-b'}{a'-c'}-\overline{\left(\dfrac{a'-b'}{a'-c'}\right)}=0\Longleftrightarrow abc^2-ab^2c+a^2c^2-a^2b^2+ac^3-ab^3+bc^3-cb^3=0

  \dfrac{a'-b'}{a'-c'}-\overline{\left(\dfrac{a'-b'}{a'-c'}\right)}=0\Longleftrightarrow (c-b)(a+b)(b+c)(c+a)=0

  et compte tenu que les points A,B,C sont deux à deux distincts :

  \dfrac{a'-b'}{a'-c'}-\overline{\left(\dfrac{a'-b'}{a'-c'}\right)}=0\Longleftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0

Posté par
alb12
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 15:29

salut,
j'ai pris A0;0), B(1;0), C(x;y)
je trouve comme condition (hors triangle aplati) x^2+y^2-x=0 cad ABC triangle rectangle en C

Posté par
lake
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 15:33



Voilà une solution de niveau première.
Elle mériterait peut-être quelques précisions...

Posté par
mathafou Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 15:51

Bonjour,

il manque tout de même :
ou x = 0 ou x = 1 (triangle rectangle en C ou en A ou en B)

Posté par
alb12
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 16:14

c'est exact ! (script de niveau seconde, interpretation du resultat de niveau premiere)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 18:16

Merci à tous pour vos réponses
Je vais tout regarder avec attention.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 18:48

J'ai compris la solution de lake

Pour celle de alb12, j'avoue patauger un peu.
Ne serait-il pas plus simple de choisir A(-1;0), B(1;0), C(c;d) pour trouver c2+d2 = 1 ?
Présenter cette solution pour qu'elle soit abordable par falilou1 vous semble-t-il possible ?

Posté par
alb12
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 20:14

je n'ai pas essaye de faire les calculs à la main
le script peut etre ecrit par un eleve de seconde
le resultat (le determinant) peut etre interprete par un eleve de premiere
en revanche les calculs (en particulier celui du determinant) relevent plus de la premiere annee du superieur
avec -1 pour affixe de A on obtient

Posté par
lake
re : alignement des milieux des hauteurs 22-03-21 à 21:01

Juste un petit commentaire sur "mes calculs" :
Je savais dès le départ que, dans le cadre du "truc de Morley circonscrit",  ABC rectangle revenait à prouver que  (a+b)(b+c)(c+a)=0 en étant bien convaincu que les seuls triangles solutions étaient rectangles. On obtient très naturellement un polynôme homogène de degré 4 en a,b,c où la factorisation (ici)  par c-b est quasiment "évidente"
Le reste coule de source
Sans logiciel de calcul formel, on arrive là aux limites de ce qu'il est possible de faire manuellement

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 23-03-21 à 18:40

Bonsoir,
J'ai pris un peu plus de temps pour regarder les calculs analytiques du second lien, celui avec A(-1;0) et B(1;0).
Le calcul du déterminant n'est pas si monstrueux qu'il semble au premier abord.
Avec V1( X1 ; \; K1y(x2+y2-1) )
et V2( X2 ; \; K2y(x2+y2-1) ),
La factorisation par y(x2+y2-1) apparaît facilement. Puis la factorisation complète.

Les calculs qui précèdent ne sont pas vraiment agréables.
Je les ai faits "à la main", mais j'ai préféré travailler avec les vecteurs H1H3 et H3H2 à la fin.

Pour répondre à mathafou :
On part d'un triangle non aplati, non rectangle en A, ni en B.
A(-1;0), B(1;0) et C(x; y) avec y, x+1 et x-1 non nuls.
On démontre que si les milieux des hauteurs sont alignés alors le point C est sur le cercle de diamètre AB.
Ça démontre bien ce qu'on voulait.

Posté par
matheuxmatou
re : alignement des milieux des hauteurs 23-03-21 à 18:53

Bonjour à tous,

Il me semble qu'on peut traiter les choses de façon géométrique aussi
évidemment ABC est un triangle non aplati...

on sait que les symétriques  de l'orthocentre H par rapport aux côtés sont sur le cercle circonscrit du triangle.

donc si les milieux des hauteurs sont alignés, les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés qui s'en déduisent par une homothétie de centre H et de rapport 4  sont aussi alignés

étant alignés et sur le cercle, cela signifie qu'il y en 2 de confondus et par conséquent deux pieds de hauteurs qui sont confondus... d'où le résultat

sauf erreur

Posté par
matheuxmatou
re : alignement des milieux des hauteurs 23-03-21 à 18:55

ah non mince... oubliez... j'ai considéré les milieux des segments [orthocentre ; pied de hauteur]



énoncé mal lu

10 coups de bâton !

Posté par
alb12
re : alignement des milieux des hauteurs 23-03-21 à 19:34

@Sylvieg
pourquoi ne pas raisonner par equivalence ? la methode de Sylvieg
on peut donc donner cet exercice en premiere.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 23-03-21 à 20:31

Merci pour le lien
Pitié pour les élèves de 1ère !

Je suis persuadée qu'une démonstration géométrique, sans calcul, est possible.
De la à la trouver...
Une figure peut peut-être déclencher des idées :
alignement des milieux des hauteurs

Posté par
lake
re : alignement des milieux des hauteurs 23-03-21 à 21:22

Bonsoir à toutes et à tous,

Juste pour tenter d'égayer votre soirée en cette triste époque.

  

Citation :
10 coups de bâton !


Pas assez cher mon fils. Je propose 20.
Mais dans mon immense mansuétude, je te laisse le choix :

  20 coups de bâtons ou 100 coups de fouet ?


  

Posté par
matheuxmatou
re : alignement des milieux des hauteurs 23-03-21 à 23:32

"il est pas sec ... !"

Posté par
alb12
re : alignement des milieux des hauteurs 24-03-21 à 11:42

la figure est tellement simple qu'on sent bien que quelqu'un va trouver une demo niveau college...
En attendant derniere ? mouture Xcas

Posté par
lake
re : alignement des milieux des hauteurs 24-03-21 à 21:23

Bonsoir à toutes et à tous,

Juste pour le fun (je n'apporte évidemment rien de nouveau) :
J'ai erré à droite à gauche sur ce sujet et entre autres je me suis intéressé au centre du cercle A'B'C' avec les notations de la dernière figure de Sylvieg.

Figure-t-il dans ETC le plus ou moins célèbre site de Clark Kimberling : Encycopedia of Triangle Centers ici: ?

Je l'ai trouvé; il s'agit de X(5893) :

Citation :
X(5893) =  CENTER OF HALF-ALTITUDE CIRCLE
Barycentrics   f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b), where f(a,b,c) = -2a10 + 3b10 + 3c10 - a8b2 - a8c2 + 12a6b4 + 12a6c4 + 16a6b2c2 - 10a4b6 - 10a4c6 + 10a4b4c2 + 10a4b2c4 - 2a2b8 - 2a2c8 + 16a2b6c2 + 16a2b2c6 + 28a2b4c4 - 9b8c2 - 9b2c8 + 6b6c4 + 6b4c6

The half-altitude circle is the circumcircle of the half-altitude triangle. Its radius is
[R/(16SASBSC)][2(b2c2J2 + S2 - S2A)(c2a2J2 + S2 - S2B)(a2b2J2 + S2 - S2C)]1/2, where J = |OH|/R (as at X(1113).

X(5893) lies on these lines: {2,5894}, {4,6}, {5,3357}, {30,5448}, {64,3091}, {140,2777}, {154,3146}, {221,5225}, {546,5462}, {1853,3832}, {2192,5229}

X(5893) = midpoint of X(4) and X(2883)
X(5893) = complement of X(5894)
X(5893) = X(11260)-of-orthic-triangle if ABC is acute


Vous pouvez remarquer qu'il y figure une expression assez compliquée du rayon.
Au dénominateur, on ne trouve que le produit S_AS_BS_C où :

  \begin{cases}S_A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}=bc\,\cos\,\widehat{A}\\S_B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2}=ca\,\cos\,\widehat{B}\\S_C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}=ab\,\cos\,\widehat{C}\end{cases}

a,b,c sont bien sûr les mesures des côtés du triangle ABC

Encore une fois, c'était juste pour le "fun"

Posté par
alb12
re : alignement des milieux des hauteurs 25-03-21 à 20:14

nouvelle session
avec A(-1), B(1), C(a+i*b) pour afficher l'equation du cercle circonscrit à IJK (ou A'B'C' dans ce fil) ainsi qu'une valeur de l'angle (KI,KJ)
Il est preferable (eu egard à la longueur du carre du rayon) dans la config en haut à gauche de decocher Q/R sur une seule ligne

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 27-03-21 à 11:58

Bonjour,
Ci-dessous, une piste avec Ménélaüs et les milieux des côtés, que je n'arrive pas à finaliser :
alignement des milieux des hauteurs
\dfrac{\bar{A'O}}{\bar{A'O'}}\times\dfrac{\bar{C'O'}}{\bar{C'O''}}\times\dfrac{\bar{B'O''}}{\bar{B'O}} = \dfrac{\bar{A_1B}}{\bar{A_1C}}\times\dfrac{\bar{C_1A}}{\bar{C_1B}}\times\dfrac{\bar{B_1C}}{\bar{B_1A}}

Donc A', B', C' alignés est équivalent à A1, B1, C1 alignés.
Et après ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : alignement des milieux des hauteurs 27-03-21 à 12:25

Bonjour

A1B1C1 est le bien connu triangle orthique.

l'orthocentre étant le centre du cercle inscrit dans ce triangle orthique, les points seront alignés si et seulement si ils sont alignés avec l'orthocentre.



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