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alignements de points
romainromain
Bonjour voici un exercice pour lequel j'ai fais une partie mais je bloque, pourriez vous m'aider svp?
ABCD est un trapèze tel que vecteur DC = 1/3 vecteur AB
I et K sont es milieux respectifs des segments AB et CD. Les droites (AC) et (BD) se coupent en M; les droites (AD) et (BC) se coupent en N
-> Les points I, M, K, N sont-ils alignés? Justifier
Voici ma réponse:
On a vecteur DC = 1/3 vecteur AB, donc (DC) // (AB)
et (sans vecteur cette fois), DC/AB = 1 / 3
D'où d'après le theorème de Thalès, on CN / CB = ND / NA = 1 / 3
et on a donc vecteur ND = 1 / 3 vecteur NA et vecteur NC = 1 / 3 vecteur NB.
De même dans le triangle NAI on a NK / NI = 1 / 3 et donc vecteur NK = 1 / 3 vecteur NI
donc vecteur NK et vecteur NI sont colinéaires. Donc N, K et I sont alignés.
Ensuite je suis bloqué pour le point M (dont j'ai remarqué qu'il est le point d'intersection des diagonales du trapèze)
Bonjour,
Sur une même droite on passe des vecteurs aux longueurs,
mais on ne peut dire "De même dans le triangle NAI on a NK / NI = 1 / 3"
sans démontrer "par les vecteurs" que N,K et I sont alignés....
Oui je me souviens des homothéties
Je dirai que: A est l'image de D par l'homothétie de centre N et de rapport 3
I est l'image de K par l'homothétie de centre N et de rapport 3
et B est l'image de C par l'homothétie de centre N et de rapport 3
Et on sait que l'image d'un point par une homothétie, ce point et le centre de l'homothétie sont toujours alignés. Ce qui permet de conclure que I, K et N sont alignés.
Ce n'est pas une démonstration mais est-ce suffisant pour 'justifier' l'alignement de ces 3 points?
à condition de tout remettre dans le bon ordre !
Je dirai que: A est l'image de D par l'homothétie de centre N et de rapport 3
I est l'image de K par l'homothétie de centre N et de rapport 3
et B est l'image de C par l'homothétie de centre N et de rapport 3
OK
donc l'image par cette homothétie du segment [DC] est le segment [AB] (qui lui est //)
K est le milieu de [DC], son image est I le milieu de [AB] (conservation des milieux)
donc N (le centre d'homothétie), K et I sont alignés
cherche une homothétie de centre M maintenant ....
D'accord j'ai compris ce que vous dites
Dans l'homothétie de centre M je pense qu'on ne connait pas le rapport. On peut alors simplement dire: A est l'image de C par l'homothétie de centre M et de rapport k (où k est un réel négatif). B est l'image de D par la même homothétie (de centre M et de rapport k)
donc l'image par cette homothétie du segment [DC] est le segment [AB]
or K est le milieu de [DC], donc son image (par l'homothétie de centre M et de rapport k) est I le milieu de [AB]
donc M, I et K sont alignés. Donc finalement N, K, I et M sont alignés
B est l'image de D par la même homothétie (de centre M et de rapport k)
car (DC)//(BA)
oui c'est ça
tu peux regarder là maintenant....
théorème du trapèze, c'est noté! Je me demande, en quoi il est important de préciser que (DC) // (BA) pour dire que oui B est bien l'image de D par cette même homothétie?
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