Niveau exercices

allumettes magiques et boites

Posté par
flight 13-01-24 à 22:18

Bonsoir

je vous propose l'exercice de proba suivant :

on dispose de p boites et n allumettes toutes identiques , chaque allumette est magique et peut decider de rejoindre la boite qui lui plaira et il y a plus d'allumettes que de boites ( on supposera que n p ) . ( il est tout à fait possible qu'une même boite contienne toutes les allumettes )
Si on note X le nombre de boites contenant des allumettes ,lorsque toutes les allumettes ont fait leur choix , quel sera alors en moyenne le nombre de boites non vides ?

Posté par re : allumettes magiques et boites 14-01-24 à 09:10

Bonjour,

à mon avis la condition $n\geq p$ ne sert à rien. Je trouve pour l'espérance de $X$ :

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Posté par re : allumettes magiques et boites 14-01-24 à 14:30

Bonjour Jandri,
Pour faire un test simple j'ai pri n=4 allumettes et p=3 boîtes :
P(X=1)=3/15
P(X=2)=9/15
P(X=3)=3/15
L'espérance de X donne E(X) =30/15=2.

En utilisant ta formule 3(1- (1- (1/3))^4)=65/27....sauf erreur de ma part

Posté par re : allumettes magiques et boites 14-01-24 à 15:21

Bonjour flight,
je ne suis pas d'accord. Dans le cas n=4 allumettes et p=3 boîtes :
"chaque allumette est magique et peut décider de rejoindre la boite qui lui plaira" donc elle rejoindra la boite numéro 1 avec la probabilité 1/3.
De même pour les autres allumettes. Comme elles choisissent indépendamment, la probabilité que les 4 allumettes soient dans la boite 1 est égale à 1/3^4=1/81
C'est pareil pour les boites 2 et 3 : on en déduit P(X=1)=3/81=1/27.

Posté par re : allumettes magiques et boites 14-01-24 à 16:15

Effectivement 😱 merci , je Jandri, je me suis fourvoye' dans un raisonnement à côté de la plaque
On a finalement :
P(X=1)=3/81
P(X=2)=42/81
P(X=3)=36/81
Et E=195/81

Posté par re : allumettes magiques et boites 14-01-24 à 17:57

J'ai pu retrouver une formule complexe mais je ne suis pas arrivé à ton niveau de simplification :
E(X) =(1/pⁿ) (kC(p, k) (-1)^k-j. C(k, j). jⁿ), la première somme va de k=1 à k=p et la seconde somme va de j=0 à j=k

Posté par re : allumettes magiques et boites 15-01-24 à 15:46

Bonjour,
Soit $X_i$ la variable aléatoire qui vaut $0$ si la boîte n° $i$ est vide et $1$ sinon. On a alors $X=\sum_{i=1}^p X_i$ , et par assitivité de l'espérance on a donc $\mathbf E(X)=\sum_{i=1}^p \mathbf E(X_i)$ .
Or $\mathbf E(X_i)$ est la probabilité que la boîte n° $i$ ne soit pas vide. La probabilité qu'elle soit vide est $\left(\dfrac{p-1}p\right)^n$ . Tu as tout ce qu'il faut pour retrouver la formule de jandri.