On considère les 2 suites définies par Un = n et Vn = 2^n, avec n
supérieur ou égal à 0.
1) Montrer ke Un vérifie la relation U(n+1) = 2 Un + 1 - n et ke Vn
vérifie la relation de récurrence V(n+1) = 2 Vn + 1 - n.
2) Peut-on en conclure, grâce au principe de récurrence, ke lé deux
suites sont égales ? Pourkoi ?
Un = n pour tout entier naturel n
Un+1 = 2 Un + 1 - n est évident car on a
Un+1 = 2 n + 1 - n = n +1
Donc pour tout entier naturel n on a Un+1 = 2 Un + 1 - n
Pir (Vn), tu dois utiliser le raisonnement par récurrence :
Soit P(n) la proposition (Vn+1 = 2 Vn + 1 - n)
1 - On vérifie que la prposition P est vraie au rang 0 (n = 0)
P(0) : V0 = 2 ^ 0 = 1
V1 = 2 ^ 1 = 2 = 2 V0 + 1 - 1 = V0+1
Donc P est vraie au rang 0
2 - On suppose que la proposition P est vrai au rang n :
On a donc pour un n fixé Vn+1 = 2 Vn + 1 - n
Et on vérifie que P(n+1) est vrai aussi :
... essaye un peu tout seul et on verra plus tard si tu n'y arrives
pas...
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