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alpha

Posté par
Leoniedeville
12-12-20 à 18:30

Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant :
Nous avons f la fonction définie sur [-3;3] par f(x)=xex

1) Montrer que l'équation f(x)=1 possède une unique solution alpha sur [-3;3].
2)Justifier que alpha appartient à l'intervalle [0;1]
3) Maintenant, recopier et compléter le programme python suivant pour que l'appel d(u) renvoie les 2 bornes d'un encadrement d'amplitude 0,01 de alpha à 0,01
4) Avec la calculatrice, déterminer la valeur de alpha à 0,001 par excés.


Mes réponses:

1) Nous devons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires qui se pose en 3 principes : la continuité, le changement de signe et la stricte monotonie.

*La continuité : D'après le théorème des fonctions usuelles, les fonctions caractérisées par l'exponentielle sont continues sur leurs domaines de définitions.
Donc f est continue sur [-3;3]

*Le changement de signe:
f(-3)= -3e-3= -0,149
f(3)= 3e3=60,256
On a bien un changement de signe.

*La stricte monotonie : (ici je suis bloqué)

On a f(x)= xex
Donc f'(x)=1*ex+x*ex

Alors f'(x)=(1+x)ex, cherchons (1+x)ex=0 (j'hésite avec (1+x)ex=1...)

*1+x=0 quand x=-1
*ex ne peut pas être égal à 0 car ex>0
(J'ai fais ensuite les tableaux de variations sur l'image jointe  mais je ne trouve pas de stricte monotonie...)

2) alpha [0;1] car 0,5<alpha<0,6

3)?

4) Je trouve 0,567<alpha<0,568

Merci beaucoup d'avance pour votre aide

alpha

Posté par
sanantonio312
re : alpha 12-12-20 à 18:53

Bonjour,
La dérivée s'annule en -1.
Refais la même étude de signe et de monotonie dans les 2 intervalles.
Entre -3 et -1 puis entre -1 et 3

Posté par
alb12
re : alpha 12-12-20 à 20:27

salut,
une methode pour obtenir rapidement le code latex du tableau des variations

Posté par
co11
re : alpha 12-12-20 à 22:36

Bonsoir,

Pour la question 1)

Citation :
Nous devons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires qui se pose en 3 principes : la continuité, le changement de signe et la stricte monotonie.

Il est clair que la fonction n'est pas strictement monotone sur [ - 3; 3 ], donc le théorème ne s'appliquera pas sur cet intervalle mais un autre (contenu dans [ - 3; 3] )

Il faudra alors regarder ce qu'il en est en dehors ce cet autre intervalle.

L'indication de sanantonio312 à 18h53 devrait t'aider.  

Posté par
sanantonio312
re : alpha 12-12-20 à 22:52

Bonne nuit tout le monde...

Posté par
co11
re : alpha 12-12-20 à 22:56

Bonne nuit aussi.

Posté par
Leoniedeville
re : alpha 12-12-20 à 23:36

Bonsoir, désolé de répondre aussi tard....
Voici ce que j'ai fais

1) Étudions le signe entre [-3;-1[ et entre ]-1;3] :
(Voir les tableaux en image)

-Donc f est strictement décroissante sur [-3;-1[ et strictement croissante sur ]-1;3].
-Mais entre [-3;-1[ , f(x)<1 alors qu'entre ]-1;3] f(x) 1 : on a donc bien une stricte monotonie sur ]-1;3] qui fait partie de [-3;3]

On a donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires une unique solution alpha sur [-3;3]

3) Je vois bien que le programme Python se repose sur le principe de dichotomie mais je ne vois pas bien ce qu'il faut mettre sur les pointillés...

Merci pour votre aide

alpha

Posté par
sanantonio312
re : alpha 13-12-20 à 09:09

Je ne comprends pas ta conclusion à la question 1.
Tu as identifié 2 intervalles sur lesquels f est strictement monotone.
Pour appliquer le théorème, il faut que tu trouve celui où f change de signe.

Posté par
Leoniedeville
re : alpha 13-12-20 à 09:43

Bonjour
[..]
donc d'après les tableaux de signes et de variation, f change de signe sur l'intervalle]-1;3] (il devient positif) où la fonction est strictement croissante.
On a donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires une unique solution alpha sur [-3;3] .

C'est bon ? Merci.

Posté par
sanantonio312
re : alpha 13-12-20 à 10:19

Oui. Tu peux même déjà dire que cette solution est dans ]-1;3[

Posté par
sanantonio312
re : alpha 13-12-20 à 10:20

Ton explication à la question 2 n'est pas convaincante

Posté par
sanantonio312
re : alpha 13-12-20 à 10:26

J'ai écrit une bêtise ce matin.
Au lieu de

Citation :
Pour appliquer le théorème, il faut que tu trouve celui où f change de signe.

Il faut
Citation :
Pour appliquer le théorème, il faut que tu trouve celui où f(x)-1 change de signe.

Puisque ce qui est demandé concerne f(x)=1. Donc f(x)-1=0
Désolé, pendant la nuit, j'ai zappé des informations

Posté par
Leoniedeville
re : alpha 13-12-20 à 12:09

Bonjour, merci pour votre réponse, ce n'est pas grave.

1) [...]
On cherche f(x)-1=0 où f(x)=1
. Donc on a xex-1=0
Mais il faut que x = alpha pour que xex-1=0, mais x=alpha ]-1;3[ où f(-1)= -1,367 et f(3)= 59,256.

On a donc le tableau de variations suivant :
(Voir image)

Donc f change de signe sur l'intervalle]-1;3[ car alpha à cette intervalle .
La stricte monotonie est vérifiée .

On a donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires une unique solution alpha sur [-3;3] .

2) Grâce au tableau précédent on sait que alpha appartient à l'intervalle]-1;3[. Mais on a f(0)=-1et f(1)= 1,7182, on en déduit un changement de signe donc alpha [0;1].
On peut donc faire le tableau de signe suivant
(voir image)


Merci pour votre aide

alpha

Posté par
sanantonio312
re : alpha 13-12-20 à 12:24

Dans le tableau, il y a bien f(x)-1, mais pour la dérivée, c'est f'(x) (qui est la même que (f(x)-1)' ) Mais ce n'est surtout pas f'(x)-1
Ensuite, tes explications sont abominables!

Citation :
Donc on a xex-1=0
Mais il faut que x = alpha pour que xex-1=0, mais x=alpha ]-1;3[ où f(-1)= -1,367 et f(3)= 59,256.
ca  ne veut rien dire!
et dans
Citation :
Donc f change de signe sur l'intervalle]-1;3[ car alpha à cette intervalle .
La stricte monotonie est vérifiée .
ce n'est pas mieux. L'explication n'a rien à voir avec la monotonie

Comment fais-tu quand tu rends un devoir?

Enfin, pour la question 2, tu tournes autour de f(x)=0 or c'est toujours f(x)=1 qui nous intéresse.

Posté par
alb12
re : alpha 13-12-20 à 13:28

il est peut etre temps de rediger correctement


 \\ \left(\begin{array}{cccccc}
 \\ x & -3 &   & -1 &   & 3 \\
 \\ y'=((x+1) e^{x}) & -\frac{2}{e^{3}} & - & 0 & + & 4 e^{3} \\
 \\ y=(x e^{x}) & -\frac{3}{e^{3}} & \searrow  & -\frac1e & \nearrow  & 3 e^{3}
 \\ \end{array}\right) 
 \\

1/ f est negative sur [-3;-1] donc l'equation f(x)=1 n'a pas de solution dans [-3;-1]
2/ f est continue strictement croissante de [-1;3] sur [-1/e;3e^3]
Or 1 appartient à [-1/e;3e^3] donc l'equation f(x)=1 a une seule solution dans [-1;3]

Posté par
co11
re : alpha 13-12-20 à 19:31

Oui, je suppose qu'il était difficile de faire autrement pour tenter de remettre les choses en place.

Posté par
alb12
re : alpha 13-12-20 à 20:28

Desole pour l'intrusion mais là on allait à la derive

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