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Niveau terminale
alpha
Posté par Leoniedeville
Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant :
Nous avons f la fonction définie sur [-3;3] par f(x)=xex
1) Montrer que l'équation f(x)=1 possède une unique solution alpha sur [-3;3].
2)Justifier que alpha appartient à l'intervalle [0;1]
3) Maintenant, recopier et compléter le programme python suivant pour que l'appel d(u) renvoie les 2 bornes d'un encadrement d'amplitude 0,01 de alpha à 0,01
4) Avec la calculatrice, déterminer la valeur de alpha à 0,001 par excés.
Mes réponses:
1) Nous devons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires qui se pose en 3 principes : la continuité, le changement de signe et la stricte monotonie.
*La continuité : D'après le théorème des fonctions usuelles, les fonctions caractérisées par l'exponentielle sont continues sur leurs domaines de définitions.
Donc f est continue sur [-3;3]
*Le changement de signe:
f(-3)= -3e-3= -0,149
f(3)= 3e3=60,256
On a bien un changement de signe.
*La stricte monotonie : (ici je suis bloqué)
On a f(x)= xex
Donc f'(x)=1*ex+x*ex
Alors f'(x)=(1+x)ex, cherchons (1+x)ex=0 (j'hésite avec (1+x)ex=1...)
*1+x=0 quand x=-1
*ex ne peut pas être égal à 0 car ex>0
(J'ai fais ensuite les tableaux de variations sur l'image jointe mais je ne trouve pas de stricte monotonie...)
2) alpha 
[0;1] car 0,5<alpha<0,6
3)?
4) Je trouve 0,567<alpha<0,568
Merci beaucoup d'avance pour votre aide
Bonjour,
La dérivée s'annule en -1.
Refais la même étude de signe et de monotonie dans les 2 intervalles.
Entre -3 et -1 puis entre -1 et 3
Bonsoir,
Pour la question 1)
Citation :
Nous devons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires qui se pose en 3 principes : la continuité, le changement de signe et la stricte monotonie.
Nous devons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires qui se pose en 3 principes : la continuité, le changement de signe et la stricte monotonie.
Il est clair que la fonction n'est pas strictement monotone sur [ - 3; 3 ], donc le théorème ne s'appliquera pas sur cet intervalle mais un autre (contenu dans [ - 3; 3] )
Il faudra alors regarder ce qu'il en est en dehors ce cet autre intervalle.
L'indication de sanantonio312 à 18h53 devrait t'aider.
Bonsoir, désolé de répondre aussi tard....
Voici ce que j'ai fais
1) Étudions le signe entre [-3;-1[ et entre ]-1;3] :
(Voir les tableaux en image)
-Donc f est strictement décroissante sur [-3;-1[ et strictement croissante sur ]-1;3].
-Mais entre [-3;-1[ , f(x)<1 alors qu'entre ]-1;3] f(x) 
1 : on a donc bien une stricte monotonie sur ]-1;3] qui fait partie de [-3;3]
On a donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires une unique solution alpha sur [-3;3]
3) Je vois bien que le programme Python se repose sur le principe de dichotomie mais je ne vois pas bien ce qu'il faut mettre sur les pointillés...
Merci pour votre aide
Je ne comprends pas ta conclusion à la question 1.
Tu as identifié 2 intervalles sur lesquels f est strictement monotone.
Pour appliquer le théorème, il faut que tu trouve celui où f change de signe.
Bonjour
[..]
donc d'après les tableaux de signes et de variation, f change de signe sur l'intervalle]-1;3] (il devient positif) où la fonction est strictement croissante.
On a donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires une unique solution alpha sur [-3;3] .
C'est bon ? Merci.
J'ai écrit une bêtise ce matin.
Au lieu de
Citation :
Pour appliquer le théorème, il faut que tu trouve celui où f change de signe.
Pour appliquer le théorème, il faut que tu trouve celui où f change de signe.
Il faut
Citation :
Pour appliquer le théorème, il faut que tu trouve celui où f(x)-1 change de signe.
Pour appliquer le théorème, il faut que tu trouve celui où f(x)-1 change de signe.
Puisque ce qui est demandé concerne f(x)=1. Donc f(x)-1=0
Désolé, pendant la nuit, j'ai zappé des informations
Bonjour, merci pour votre réponse, ce n'est pas grave.
1) [...]
On cherche f(x)-1=0 où f(x)=1
. Donc on a xex-1=0
Mais il faut que x = alpha pour que xex-1=0, mais x=alpha ]-1;3[ où f(-1)= -1,367 et f(3)= 59,256.
On a donc le tableau de variations suivant :
(Voir image)
Donc f change de signe sur l'intervalle]-1;3[ car alpha à cette intervalle .
La stricte monotonie est vérifiée .
On a donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires une unique solution alpha sur [-3;3] .
2) Grâce au tableau précédent on sait que alpha appartient à l'intervalle]-1;3[. Mais on a f(0)=-1et f(1)= 1,7182, on en déduit un changement de signe donc alpha [0;1].
On peut donc faire le tableau de signe suivant
(voir image)
Merci pour votre aide
Dans le tableau, il y a bien f(x)-1, mais pour la dérivée, c'est f'(x) (qui est la même que (f(x)-1)' ) Mais ce n'est surtout pas f'(x)-1
Ensuite, tes explications sont abominables!
Citation :
Donc on a xex-1=0
Mais il faut que x = alpha pour que xex-1=0, mais x=alpha ]-1;3[ où f(-1)= -1,367 et f(3)= 59,256.
ca ne veut rien dire!
Donc on a xex-1=0
Mais il faut que x = alpha pour que xex-1=0, mais x=alpha
]-1;3[ où f(-1)= -1,367 et f(3)= 59,256.et dans
Citation :
Donc f change de signe sur l'intervalle]-1;3[ car alpha à cette intervalle .
La stricte monotonie est vérifiée .
ce n'est pas mieux. L'explication n'a rien à voir avec la monotonie
Donc f change de signe sur l'intervalle]-1;3[ car alpha
à cette intervalle .
La stricte monotonie est vérifiée .
Comment fais-tu quand tu rends un devoir?
Enfin, pour la question 2, tu tournes autour de f(x)=0 or c'est toujours f(x)=1 qui nous intéresse.
il est peut etre temps de rediger correctement 
1/ f est negative sur [-3;-1] donc l'equation f(x)=1 n'a pas de solution dans [-3;-1]
2/ f est continue strictement croissante de [-1;3] sur [-1/e;3e^3]
Or 1 appartient à [-1/e;3e^3] donc l'equation f(x)=1 a une seule solution dans [-1;3]
Oui, je suppose qu'il était difficile de faire autrement pour tenter de remettre les choses en place.