Amusette de saison.

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Amusette de saison.
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1 Schumi 1  08-01-09 à 21:00
Bonsoir à tous 

Camélia, nous aurais-tu oublié cette année?  Quoiqu'il en soit, voici le traditionnel "problème" pour bien débuter l'année. (J'avoue cependant que cette année n'est vraiment pas d'un interêt foudroyant...).

Trouver, à isomorphisme près, tous les groupes d'ordre 2009.

Bonne réflexion.

Ayoub.
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Nightmarere : Amusette de saison.  08-01-09 à 21:43
Salut 

On a besoin de la théorie des groupes de Sylow?
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1 Schumi 1re : Amusette de saison.  08-01-09 à 22:06
Salut 

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Avec un énoncé basique d'au moins un théorème de Sylow on peut s'en sortir mais je ne sais pas si c'est indispensable. Maintenant que tu le demandes, il me semble que Cauchy suffit mais faudrait que je mette au propre pour voir si ça marche bien.

Pas le temps-là, DS sur les séries de Fourier demain... 

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fade2blackre : Amusette de saison.  08-01-09 à 23:29
Salut !

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Soit G un groupe d'ordre 2009.

2009=7²*41. Par Sylow, il y a un seul 7-Sylow (je l'appelle H), et un seul 41-Sylow (je l'appelle K). Ils sont donc distingués dans G. H contient des éléments d'ordre 1, 7 et 49, K des éléments d'ordre 41. Leur intersection est donc triviale. On a donc que G est isomorphe à HxK. L'ordre de K étant premier, K est isomorphe à /41. H est d'ordre 7², où 7 est premier, donc isomorphe à /49 ou à (/7)x(/7).

G est donc isomorphe à lun des deux groupes suivant :

/2009

(/49)x(/41)

(/7)x(/7)x(/41)
 Posté par 
fade2blackre : Amusette de saison.  08-01-09 à 23:31
Oups je me susi trompé !

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Les deux premiers sont isomorphes entre eux par le théorème chinois. Il ne reste donc plus que /2009 et (/7)x(/7)x(/41).
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fade2blackre : Amusette de saison.  08-01-09 à 23:32
Et mince j'ai oublié de blanquer (c'était la première fois que je le faisais, j'ai pas l'habitude  ) ; je sais pas si un modérateur peut le faire ?
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Camélia re : Amusette de saison.  10-01-09 à 14:53
Bonjour

Non, je ne vous oublie pas, mais je suis en bas débit... Je rentre à Paris la semaine prochaine, et je reprendrai mes activités...

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Je ne suis pas sure qu'il n'y ait pas de groupes non commutatifs... mais j'y penserai pendant le voyage!
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fade2blackre : Amusette de saison.  10-01-09 à 15:26
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Avec encore un coup de téhorème chinois on arrive même à un résultat plus compact que mon précédent : je pense que les deux seules possibilités sont /2009 et (/7)x(/287). 
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Camélia re : Amusette de saison.  13-01-09 à 14:35
Rebonjour

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En effet, il n'y a pas de groupe non commutatif! Pour les groupes d'ordre  avec p et q premiers, les seuls cas où il y en a sont p|q-1 et q|p2-1 ce qui n'est pas le cas.
 Posté par 
1 Schumi 1re : Amusette de saison.  13-01-09 à 18:51
Re 

fadeback >> 
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Ok. 

Camélia >>  Cliquez pour afficher
Oui, en effet, il n'y en a que 2 cette année. Ce qui va compenser pour le moins sérieusement ce qui nous attend l'an prochain. 

 Posté par 
fade2blackre : Amusette de saison.  22-01-09 à 15:56
Lol j'ai eu cet exo en partiel, 4 jours après l'avoir cherché sur ce forum ; merci 
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Camélia re : Amusette de saison.  22-01-09 à 16:07
Ce qui montre que le forum est utile et qu'il y a encore des enseignants qui ne se contentent pas des exos datés d'avant le déluge... 
  Posté par 
fade2blackre : Amusette de saison.  22-01-09 à 16:15
En même temps, au partiel d'octobre, le prof nous avait fait travailler sur un groupe d'ordre 2008, alors on pouvait s'en douter