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Je dois passer à côté de la difficulté, pour moi l'adhérence d'un sous-groupe d'un groupe topologique est toujours un sous-groupe par continuité des opérations, non?

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Sauf que A N'EST PAS un sous-groupe!

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Oups la boulette ! Effectivement, ce n'est pas un sous-groupes. L'exercice est maintenant beaucoup plus intéressant Je m'y colle

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Le cas métrique pour commencer donc...
On utilise l'équivalence BL <==> BW.
(gⁿ) admet une sous suite convergente . On a .
Par suite . Comme est fermée, e est dedans.
En écrivant on a que tend (dans G) vers g^(-1) donc dans \bar{A} également. Par suite, tous les éléments de A sont inversibles dans l'adhérence de A
C'est presque fini: on prend a dans . où les a_i sont dans A.
est une suite de qui admet une sous suite convergente. On ne perd rien à supposer qu'elle est elle même convergente. On a alors et l'inverse de a est bien dans l'adhérence de A.

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J'ai failli oublier... ta démonstration est OK si g est d'ordre infini! La démonstration est triviale si g est d'ordre fini, mais il vaut mieux le dire...

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J'ai l'impression que c'est carrément la même chose dans le cas général... :S
On distingue deux cas: A possède un point d'accumulation dans G ou pas.
Dans la négative, BL impose que A est fini (pour tout x dans G on prend un ouvert qui n'intersecte pas A-{x}). Donc g est d'ordre fini et A=\bar{A} est un sous-groupe de G.
Sinon, notons l le point d'accumulation. Le même raisonnement que celui conduit précédemment fonctionne il me semble (la séparation y joue un rôle fondamentale), on déduit de la même façon que e est dans \bar{A} puis que tout élément de A est inversible dans \bar{A}. Et on conclut de la même façon, c'est juste qu'on parle en terme de voisinage...
Non?

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Je dirais plutôt valeur d'adhérence que point d'accumulation! Ce qui ne maeche plus c'est l'existence d'une suite convergente. Mais c'est vrai qu'on fait à peu-près la même chose, en utilisant des voisinages... ce qui rend quand même l'écriture assez compliquée: il faut les choisir en tenant compte de la continuiyé des opérations dans G etc. Je veux bien l'écrire si personne ne s'est dévoué dans quelques jours!