Bonsoir Camélia,

C'était ça l'exo dont tu nous en avais parlé? Sympa en effet...

A)
Je te prie de bien vouloir me faire confiance pour la vérification du fait qu'il s'agisse bien d'un groupe. (J'ai grâââve la flemme de tirer le LaTex pour les matrices là).
Pour preuve de ma bonne foi, je te donne quand même la table de multiplication: (ma bonté me perdra, je sais ).
A_i=A₁ⁱ
A_iB_j=B_i+j
B_jA_i=B_j-i
B_iB_j=A_i-j+3
Je pense pas avoir oublié un cas...

Il n'est visiblement pas isomorphe au diédral D₆. (Faut dire qu'il n'y a pas énormément d'élément de ce groupe qui sont d'ordre 2 ).
Par contre, n'ayant jamais vraiment étudié A₄, je vais l'admettre pour l'instant. Je reviendrai dessus plus tard.

B)
1) Il est clairement d'ordre 12 (6*2=12, si si je t'assure) et non abélien (S3 ne l'étant pas).
Par élimination, je dirais qu'il est isomorphe à A₄ mais sans grande conviction.
2) Rotation dans l'espace? Faudra que j'aille voir mon cours de géo, ça devient urgent.
3) Il est évidemment un groupe non commutatif d'ordre 12. se comporte comme A₁ et comme B₁. Je prétends donc que ce groupe est isomorphe au dicyclique.


Je réflechis encore un peu pour le reste. Ca se corse.

5 you.

Ayoub.

4) C'est un groupe d'ordre 12 (4*3=12 en effet) et on vérifie qu'il n'est pas commutatif. Rien de bien étonnant puisque la composition est rarement commutative.
On prend A= (aX+0)/(cX+d) (où a est non nul et ad=1) et B=(0X+b)/(cX+0) (où b est non nul et bc=-1).
A se comporte comme A₁ et B comme B₁; j'ai pas vérifié complètement la table de muliplication mais je pense qu'il n'est pas trop farfelu de penser que ce groupe est aussi isomorphe au dicyclique.

Par contre, la suite, j'essaye même pas.


Ayoub.

Je retire mon dernier message. A se comporte pas du tout comme A1, n'importe quoi

bonjour Camélia
et si tu essayais avec le cube de Rubik ?

Resalut

Pour l'instant je laisse Ayoub soliloquer...

Bonjour plumemeteore. Je ne vois pas trop quoi essayer avec le cube de Rubik, peux-tu m'expliquer?

A) Bon, je me suis renseigné un peu sur A₄. Le dicyclique n'est pas isomorphe à A4 car ce dernier est engendré par deux éléments d'ordre 3. Le dicyclique n'a clairement pas deux éléments dstincts qui l'engendrent.

B)

2) J'ai revu mon cours de géo.
Oui, c'est clairement un groupe non commutatif d'ordre 12 (c'est toujours les mêmes vérifications).
En faisant un 'ti dessin, on peut représenter un tel tétraèdre par (a,b,c,d). Les rotations qui le transforment en (a,b,c,d) en (a,d,b,c) (rotation de "la base" du tétraèdre) et celle qui transforment (a,b,c,d) en (b,c,a,d) (rotation sur "une face latérale" du tétraèdre) engendrent notre groupe.
Du coup ce groupe est isomorphe A₄ il me semble.

>Ayoub

 Cliquez pour afficher

En fait ce qui caractérise ces groupes est le fait que n'a aucun élément d'ordre 6, le dicylique a un élément d'ordre 6 et un élément d'ordre 4 (A_1 et B_1) qui l'engendrent et a un élément d'ordre 6 mais pas d'élément d'ordre 4. Tu re-regardes un peu ce que tu as écrit?

Oui, c'est une adaptation du fameux exo dont je parlais...

Camélia >>

 Cliquez pour afficher

Oh la gourde: Je me suis pas relu.
Voilà ce que je voulais dire:
A4 est engendré par des éléments d'ordre 3: Les deux 3-cycles (1,2,3) et (2,3,4).
Le dicyclique, quant à lui n'est pas engendré par des éléments d'ordre 3: uniquement par des éléments d'ordre 6 et 4.
D'où l'impossibilité d'isomorphisme entre les deux.
Ca doit être bon là maintenant.
Ya encore d'autres ânneries ?

> Ayoub

 Cliquez pour afficher

C'est faux pour 1) bon pour 2) et pour 3) et faux pour 4)

je laisse trainer encore un peu et je rédigerai un bout de démonstration.

Camélia >>

 Cliquez pour afficher

Oui oui, pour le 4) je savais.
Par contre, pour le 1) j'ai un gros doute là: S₃ je suppose qu'il est muni de la composition mais Z/2Z tu le munis de quoi? + ou *

J'ai compris l'inutilité de me denier message après l'avoir posté.
Je tente une coorection de tir:

 Cliquez pour afficher

B)
1) Je dirai qu'il est isomorphe au diédral: Sauf erreur de calcul, je pense qu'il est engendré par (1,2,3)*(-1) et (1,2)*(-1) respectivement d'ordre 6 et 2.

Abandon en ce qui me concerne. J'arrive pas à voir les éléments qui engendrent c'te groupe. (Plus précisemment, j'ai grâââve la flemme de trouver tous les éléments et après de trouver la table de multiplication ).

Par contre pour la C) j'ai mis mon prof à contribution. J'attends sa réponse.


Ayoub.

Pas de correction?

Rebonjour

Ayoub avait pratiquement tout fait! Pour le groupe de A) on voit bien qu'il a 12 éléments, A₁=A est d'ordre 6, B₁=B est d'ordre 4 ce qui suffit à assurer le fait que les inverses sont dedans. Tu as bien fait la stabilité pour la multiplication. En fait reste à voir que AB et BA sont dedans.

On admet donc que les groupes d'ordre 12 non commutatif sont de 3 espèces: qui n'a pas d'élément d'ordre 6, le dicyclique qui a un élément d'ordre 6 et un élément d'ordre 4 et le diédral qui a un élément d'ordre 6, mais pas d'élément d'ordre 4.
En utilisant ceci:



le groupe du tetraèdre est isomorphe à

les permutations et engendrent un dicylique (ça demande un peu de vérifications; on voit bien que est d'ordre 6 et d'ordre 4 et on vérifie qu'en envoyant A sur et B sur on définit bien un isomorphisme.

Pour 4) j'ai été surprise que personne ne reconnaisse les fonctions homographiques qui se composent exactement comme les matrices se multiplient. le groupe ici décrit, est isomorphe à , engendré par xx+1 qui est d'ordre 3 et par x-1/x qui est d'ordre 2.

^{S'il y a une demande je veux bien rédiger un exo sur les fonctions homographiques à coefficients dans F_p}

Et pour la dernière question? Toujours rien?

OK! je vais m'y mettre. Pour la dernière question, je crois bien que ça n'existe pas mais je n'ai pas vraiment cherché (pas le temps, vous m'épuisez... )

Nous? Mais on est gentil comme tout...