Amusette homotopique!

 Niveau exercicesPartager :
			        
Amusette homotopique!
Posté par 
Camélia   04-02-09 à 14:25
Bonjour

Trouver une partie X de 2 simplement connexe (1(X)=0) et NON contractile.

Bon courage!
 Posté par 
Nightmarere : Amusette homotopique!  04-02-09 à 14:42
Salut 

 Cliquez pour afficher
La sphère marche non?
 Posté par 
Camélia re : Amusette homotopique!  04-02-09 à 14:53
Salut Jord

 Cliquez pour afficher
La sphère dans R^2?
 Posté par 
Rodrigore : Amusette homotopique!  04-02-09 à 17:19
 Cliquez pour afficher
La réunion de 2 disques!! 
 Posté par 
Rodrigore : Amusette homotopique!  04-02-09 à 17:24
 Cliquez pour afficher
Disjoints bien sur!!
 Posté par 
Nightmarere : Amusette homotopique!  04-02-09 à 18:10
 Cliquez pour afficher
Désolé Camélia, j'avais lu R^3 ...
 Posté par 
Camélia re : Amusette homotopique!  05-02-09 à 15:57
OK!

Rodrigo c'est engouffré dans la brèche, je n'avais qu'à être bien précise! Je reprends:

Trouver une partie X de 2, connexe, simplement connexe et non contractile!
 Posté par 
Rodrigore : Amusette homotopique!  08-02-09 à 15:07
 Cliquez pour afficher
Heu il ne me semble pas qu'il y en ait... En effet si 'lon se fxe un point base disons x, alors le théorème d'Hurewicz assure que l'on a une suite excate  vu que H_{2,s}(X) est nul pour une partie de R². G est le groupe des elements de la forme  pour \gamma dans le \pi_1 qui est trivial donc G est aussi trivial et le Pi_2 est isomorphe au H_2 a savoir 0, on peut faire ça pour tous les \pi_k. Donc les groupes d'homotpies sont tous triviaux... Est ce que cela implique que l'espace lui meme est homotope au point... Je dirai que oui mais je n'en suis pas sur. 
 Posté par 
Camélia re : Amusette homotopique!  08-02-09 à 15:19
Si, si il y en a!

En voilà un (même connexe par arcs), la démonstration que ça répond à la question est intéressante en soi!

Plutôt ambitieux ton truc sur les revêtements, je n'ai pas voulu le faire passer au bleu...

 Cliquez pour afficher
Soit B=(0,1) et C=(0,-1). Pour chaque entier n non nul, An=(1/n,0).

Les segments sont comme d'hab avec ou sans extrémités!
 Posté par 
Rodrigore : Amusette homotopique!  10-02-09 à 19:06
Bon apres avoir un peu reflechi j'en ai trouvé.

 Cliquez pour afficher
La spirale logarithmique, clairement connexe par arc et 1 connexe mais pas contractile.

Le deuxième plus compliqué a décrire sans dessin.

On prend la réunion des segments In[(0,1/n), (1,1/n)] union [(0,0),(1,0)]=Ioo et on relie I1 et Ioo par un arc qui rencontre rien d'autre et on relie chaque segment In a I_{n+1} par un petit segment vertical par exemple, C'est la aussi connexe par arc, 1 connexe, mais non contractile. 
  Posté par 
Camélia re : Amusette homotopique!  11-02-09 à 14:03
>Rodrigo

 Cliquez pour afficher
Oui, bien sur! Si on le veut en plus compact, on peut prendre le "cercle polonais". Le truc obtenu si on prend la partie qui tend vers + du graphe de sin(1/x) et qu'on la ramène par la gauche sur l'origine et qu'on met  le segment vertical [(0,-1),(0,1)]